Ensembles ordonnés non isomorphes
Réponses
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Bonjour,Ça n'existe pas. Tu peux commencer par montrer que si $A$ est un ensemble ordonné fini et $f:A\to A$ une bijection croissante, alors $f^{-1}$ est croissante.
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Tu peux montrer que $\leq_A$ et $\leq_B$ ont la même taille, et conclure par le fait que : si $f: X\to Y$ est une injection entre ensembles finis de même cardinal, alors $f$ est une bijection.
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@Maxtimax Merci pour les deux idées, mais je ne vois pas comment conclure en ayant montré ceci ?
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Soit $f : A\to B, g: B\to A$ toutes deux injectives. Alors $f$ induit une injection $\leq_A\to \leq_B$, et similairement pour $g$. Puisque les deux sont finis, $f$ induit une bijection $\leq_A \to \leq_B$. En particulier, $f$ est une bijection et si $(b_0,b_1)\in\leq_B$, i.e. si $b_0\leq_B b_1$, alors $(b_0,b_1) = f(a_0,a_1)$ pour un certain couple $(a_0,a_1)\in \leq_A$. Mais $f$ est une bijection, donc $a_0 = f^{-1}(b_0), a_1 = f^{-1}(b_1)$, et donc $f^{-1}$ est croissante.
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Bonjour!
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