Sur le pgcd et le ppcm
Bonjour
Après les démonstrations lourdes et fastidieuses de mon livre de prépa, j'ai trouvé les raisonnements de ce livre d'arithmétique succincts, clairs et élégants sur ce livre, mais malheureusement cette propriété n'est pas démontrée.
Pour les valuations ça m'a l'air évident si on écrit les décompositions en facteurs premiers.
Pour le PGCD et le PPCM est-ce facile à montrer ?
Après les démonstrations lourdes et fastidieuses de mon livre de prépa, j'ai trouvé les raisonnements de ce livre d'arithmétique succincts, clairs et élégants sur ce livre, mais malheureusement cette propriété n'est pas démontrée.
Pour les valuations ça m'a l'air évident si on écrit les décompositions en facteurs premiers.
Pour le PGCD et le PPCM est-ce facile à montrer ?
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Réponses
Pour le pgcd :
1) tu montres que $\prod_{p\in \mathcal{P}}p^{\min{v_p(a), v_p(b)}}$ est un diviseur commun de $a$ et $b$ ;
2) montre que c'est le plus grand dans le sens suivant : si $d\mid a$ et $d\mid b$ alors $d\mid \prod_{p\in \mathcal{P}}p^{\min{v_p(a), v_p(b)}}$.
Montrons que $\displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{ \min ( v_p (a),v_p(b) ) }$ est un diviseur commun à $a$ et $b$.
On sait que $a=\displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{v_p(a)}$ et $b=\displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{v_p(b)}$. Deux cas se présentent :
- Si $v_p(a) \leq v_p (b)$ alors $\displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{ \min ( v_p (a),v_p(b) ) } = \displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{ v_p(a) } =a$ donc $\boxed{\displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{ \min ( v_p (a),v_p(b) ) } \mid a}$
- Si $v_p(b) \leq v_p(a)$ alors $\displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{ \min ( v_p (a),v_p(b) ) } = \displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{ v_p(b) } =b$ donc $\boxed{\displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{ \min ( v_p (a),v_p(b) ) } \mid b}$
Supposons que : $d \mid a $ et $d \mid b$ on peut écrire $d= \displaystyle\prod_{p \in \mathcal P } p^{v_p(d) }$ avec $0 \leq v_p(d) \leq v_p(a)$ et $d= \displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{v_p(d)}$ avec $0 \leq v_p(d )\leq v_p(b)$Ainsi $\boxed{v_p(d) \leq \min (v_p (a),v_p(b)) }$ et les nombres premiers qui apparaissent dans la décompositions de $d$ sont des nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres premiers qui apparaissent dans la décomposition en facteurs premiers de $a$ et $b$.
Distinguons deux cas :
🥶
Les 2 dernières lignes pourraient être :
Si pour tout p, etc etc
Et malheureusement, les lignes au dessus travaillent sur un p précis.
C'est donc évidemment faux. Essaie de voir ce que donne tout ça avec a=80 et b=250.
Mais, tu t'es bien amusé, tu as fait du Latex. Serais-tu un fétichiste du latex ?
De manière générale, il y a un truc qui est TOUJOURS faux (sauf contre-exemples alambiqués, bâtis sur mesure pour te perturber)
C'est quand on a : si $Relation(a,b,p)$ alors $\Sigma_p = $...
$p$ est une variable non-muette dans le prédicat n°1 alors que p est une variable muette dans le 2ème prédicat : ça ne peut pas être correct.
On a $\forall p \in \mathcal P ,\ \min (v_p(a),v_p(b) ) \leq v_p (a)$ donc $ \displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{\min (v_p(a),v_p(b) ) } \mid a$.
Et $\forall p \in \mathcal P, \ \min (v_p(a),v_p(b) ) \leq v_p (b)$ donc $ \displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{\min (v_p(a),v_p(b) ) } \mid b$.
Donc $ \displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{\min (v_p(a),v_p(b) ) } \mid a$ et $ \displaystyle\prod_{p \in \mathcal P} p^{\min (v_p(a),v_p(b) ) } \mid b$
Bonsoir gerard0,
Tu es sûr ?
Par contre il démontre la formule de Legendre.
C'est aussi bien.
Et ça fait des économies de latex. Faut préserver les ressources naturelles.
Ouawwww , la formule de Legendre. Le top niveau.
Raoul S. t'avait proposé une démonstration en 2 étapes. La 2ème étape, tu comptes la faire, mais après avoir démontré la formule de Legendre, c'est ça ?
-- Schnoebelen, Philippe
Ils savent tous que :
- pour simplifier une fraction, on divise en haut et en bas par le pgcd
- pour additionner deux fractions et donc mettre au même dénominateur, il faut trouver le ppcm
Est-ce qu'ils connaissent tous les noms pgcd et ppcm ? Pas sûre, mais ça ne les empêche pas de savoir les trouver et la décomposition en facteurs premiers ne pose pas de problème.
Mon prof de maths de l’époque, je l’avais en Maths et en Physique. Et je l’ai eu en 5e et en 4e.
Je pense que ça devait être un PEGC (même s’il me semble qu’ils ne pouvaient enseigner qu’en 6e et 5e au maximum…).
$$v_{2}(1000!) = 500 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1\qquad ?$$
C'est une formule très simple à comprendre et démontrer, mais tu présentes ça comme une des preuves les plus difficiles et infaisables niveau spé. Cette formule, elle ne figurait pas dans mon cours, la première fois que je l'ai vue c'était dans un DS, et la question était de la montrer, sans étapes intermédiaires pour nous aider. Et ce n'est pas une question qui avait paru difficile à la classe.
Encore une fois tu agis comme un profane en maths en croyant que, sous prétexte qu'une formule possède quelques symboles compliqués (des parties entières et une somme, wow), elle est incroyablement difficile et à la portée des génies. Bah non, ce n'est pas forcément le cas. Legendre c'est facile.
Et à côté de ça des formules qui s'écrivent en un huitième de ligne sans symbole effrayant peuvent être très dures à démontrer (comme Cayley-Hamilton qui, sans qu'on nous donne la preuve par matrice compagnon, n'aurait pas été trouvée par une très large majorité des taupes de France, et bien plus parlant encore, le théorème de convergence dominée qui s'écrit tout simplement "limite intégrale = intégrale limite"), et pour prendre un exemple que tu manipules dans ta fonction, le théorème de Pythagore qui est tout sauf trivial et qui embêterait même des bons étudiants s'ils devaient improviser une preuve, en supposant qu'ils n'en connaissent aucune).
René Haby a été probablement un des meilleurs ministres que nous ayons eu (1974 - 1978), et je trouve que les programmes concoctés sous son ministère sont d'une grande qualité. Il inaugure ce qui fut certainement l'âge d'or de l'enseignement des mathématiques en France (1974-1994), tant en qualité qu'en nombre d'élèves correctement formés (je rappelle que le nombre des très bon élèves en 4eme est passé selon Timss de 15% en 1995 à 2% en 2019).
Je recommande pour s'en convaincre de parcourir les programmes et manuels de l’époque. Ci-joint (Mauguin 5eme programme 1977) le chapitre qui concerne le fil.
p.s. sur les PEGC. Dans les années 70 la proportion de certifiés et d'agrégés ne dépassait 20% des profs de maths, les PEGC étant plus nombreux ainsi que les maître-auxiliaires. Aujourd'hui il n'y a plus que quelques centaines de PEGC en activité, mais leur publication (PEGC le collège) existe toujours. Pour les nostalgiques ...
-- Schnoebelen, Philippe
xax, tu n’as toujours pas répondu à l’argument suivant : une fois la loi Haby [collège unique] passée, il y a une certaine inertie dans le temps pour qu’on en cueille les fruits. Idem pour les programmes (je ne conteste pas qu’ils étaient bien faits !). Quel âge à celui qui découvre l’École pour la première fois et qui la découvre sous cette loi de 1975 ? Quand il sort de l’école, c’est quel âge ?
Je me fous de savoir si ce qu'il a fait était bien ou pas.
Ce que je sais, c'est que l'étude des PGCD et PPCM en collège, ça existait bien avant Haby.