Cantor-Bernstein pour les evn

Démonstrator

Peut-on trouver deux espaces vectoriels normés de dimensions infinies telle que E s'injecte dans F par une application linéaire continue et réciproquement, mais que ces deux espaces ne soient pas homéomorphes ?

Poirot

Le terme "homéomorphes" est mal adapté, car les Banach de même "dimension" sont homéomorphes (voir par exemple ce lien).

Si on remplace ce terme par "isomorphes" (c'est-à-dire l'existence d'une bijection linéaire isométrique), la réponse est non trivialement non. Par exemple, il est bien connue par l'inégalité de Cauchy-Schwarz que l'on a une injection continue $L^1([0, 1]) \hookrightarrow L^2([0, 1])$. De plus, d'après Albiac, Kalton, Topics in Banach Space Theory, Proposition 6.4.2 (*), $\ell^2$ s'injecte dans $L^1([0, 1])$ (et même $L^p([0, 1])$ pour $1 \leq p < \infty$, et ce de manière complémentée quand $p > 1$), et il est bien connu (Hilbert séparables) que $L^2([0, 1])$ et $\ell^2$ sont isomorphes. Cependant $L^1([0, 1])$ et $L^2([0, 1])$ ne sont pas isomorphes pour plein de raisons, par exemple parce que le premier n'est pas réflexif.

(*) Plus précisément, il est montré que le sous-espace fermé engendré par le système de Rademacher $$r_n : t \mapsto \mathrm{sgn}(\sin(2^n \pi t))$$ pour $n \in \mathbb N^*$ est un Hilbert séparable via l'inégalité de Khintchine.

PS. Toujours d'après le même livre, cette fois en bas de la page 33, il est dit que la question analogue en supposant de plus que $E$ est complémenté dans $F$ et $F$ est complémenté dans $E$ admet aussi une réponse négative, mais c'est beaucoup plus dur et a été montré par Gowers en 96. Ce dernier a ensuite montré qu'il existe un Banach $X$ isomorphe à $X^3$ mais pas à $X^2$...

Poirot

Un dernier pour la route : Si $X$ et $Y$ sont des Banach tels que $X$ est complémenté dans $Y$, $Y$ est complémenté dans $X$, $X$ est isomorphe à $X^2$ et $Y$ est isomorphe à $Y^2$ (ce qui apparemment est très fréquent), alors $X$ est isomorphe à $Y$. La démonstration est purement symbolique et élémentaire (Résultat dû à Pelczynski). On peut même remplacer les deux dernières hypothèses par $X$ isomorphe à $\ell^p(X)$ avec $1 \leq p < \infty$ par exemple.

Source : Choimet, Queffélec, Analyse mathématique - Grands theorèmes du XXème siècle, Page 340.

Calli

Bonjour,

Poirot a dit :
la réponse est non trivialement non. [...] d'après Albiac, Kalton, Topics in Banach Space Theory, Proposition 6.4.2 (*) [...]

@Poirot : s'il faut citer un bouquin, c'est que ça n'est pas si trivial. ^^

Un autre exemple (pour la question modifiée par Poirot) : soient

• $E$ l'emsemble des fonctions $[0,1]\to\Bbb R$ continues par morceaux muni de $\|.\|_E = \|.\|_\infty$
• et $F = E\times\Bbb R[X]$ muni de $\|(f,g)\|_F = \|f\|_\infty+\|g\|_{\infty,]1/2,1]}$.

$E$ s'injecte dans $F$ par $f\mapsto (f,0)$. Et $F$ s'injecte dans $E$ par $(f,g)\mapsto u_{f,g}$ avec $$\forall x\in[0,1],\qquad u_{f,g}(x) = \left\{\begin{array}{ll} f(2x)&\text{si }f\leqslant 1/2\\g(x)&\text{si }f>1/2 \end{array}\right.$$ Mais $E$ et $F$ ne sont pas isomorphes car le premier est complet mais pas le second.

Démonstrator

Bonjour,
je suis très au courant de ce résultat de Pelczynski, je l'ai devant moi en ce moment même.
Je ne crois pourtant bien que vous répondez à ma question... Je cherchais un contre-exemple à l'homéomorphie topologique (existence d'une bijection bicontinue), mais celle-ci impliquant l'isomorphie isométrique, que vous niez, on peut conclure par contraposée.

Calli

@Poirot, ça veut dire quoi "$E$ est complémenté dans $F$" s'il te plait ?

Poirot

Euh l'homéomorphisme n'implique pas l'isométrie, c'est le contraire. J'ai répondu à cet aspect dans mon premier message, les Banach de mêmes dimension sont en fait homéomorphes.

@Calli : ça veut dire qu'il existe un sous-espace fermé $G$ de $F$ tel que $F = E \oplus G$ (la somme directe étant automatiquement topologique, i.e. les projections sont continues, par le théorème du graphe fermé).

PS : relis bien mon message, j'ai écrit "non trivialement non".

Démonstrator

@Calli Je croyais que c'était le contraire. Du coup, ma question n'a toujours pas de réponse ! Il nous faut deux espaces vectoriels normés de dimension infinie (la même, d'ailleurs) non homéomorphes... On sait en effet que ce ne doivent pas être des Banach.

Calli

Merci @Poirot. Si je comprends bien, tu supposes que $E$ et $F$ sont des Banach dans cette définition.

Désolé, j'avais bien vu le "non trivialement non" en fait, mais j'avais cru que le premier "non" était une coquille, comme quand parfois on écrit deux fois le même mot sans le faire exprès. Du coup, mon exemple montre qu'on n'est pas obligé d'invoquer des arguments si complexes.

Démonstrator

Je peux simplifier ma question : on ne suppose plus que les injections continues soient des applications linéaires.

Calli

Mais ça ne simplifie pas du tout de nous priver de la linéarité alors que les applications linéaires continues sont les morphismes naturels sur cette catégorie d'objets.

Poirot

Effectivement, toutes mes réponses se placent dans le cadre des espaces de Banach, et donc je n'ai pas répondu en général pour l'homéomorphisme.

Je ne sais pas quel critère utiliser pour montrer que deux espaces vectoriels normés de dimension infinie donnés ne sont pas homéomorphes, donc je ne saurai pas comment attaquer la question.

Démonstrator

Je suis perplexe...
D'après le lien que vous donnez, justement, deux Banach de même dimension algébrique ne sont pas forcément homéomorphes.
L^1 et L^2 sont-ils homéomorphes (en bijection bicontinue) ?

Namiswan

 f->f|f| me semble un bon candidat d'homéomorphisme de L^2 sur L^1 (à vérifier).

Poirot

Oui ils sont homéomorphes puisque ce sont des Banach de dimension infinie séparables.