Somme des chiffres
Bonjour
j'ai essayé de résoudre ce problème.
Prouver que pour tout entier naturel $ m>1$, il existe un entier $n$ tel que $n$ soit multiple de $m$ et que la somme des chiffres composant $n$ (en base 10) est égale à $m$. Faire l'exemple avec $m=150$.
Par exemple pour $m$=3, on peut choisir $n=12$.
Pour moi le problème est équivalent à pour tout entier naturel $ m>1,\ \exists k $ entier tel que $ (k-1)m\equiv 0 [9]$ mais en prenant $ k=10$ on a une solution mais cette solution n'est pas ce que j'attends.
Prenons par exemple $m=11,\ n=10m =110$ est bien multiple de $m$, par ailleurs la somme de ses chiffres en base 10 est 2. On veut que la somme des chiffres soit aussi $m$ (ici 11).
Quelqu'un a-t-il une approche ?
j'ai essayé de résoudre ce problème.
Prouver que pour tout entier naturel $ m>1$, il existe un entier $n$ tel que $n$ soit multiple de $m$ et que la somme des chiffres composant $n$ (en base 10) est égale à $m$. Faire l'exemple avec $m=150$.
Par exemple pour $m$=3, on peut choisir $n=12$.
Pour moi le problème est équivalent à pour tout entier naturel $ m>1,\ \exists k $ entier tel que $ (k-1)m\equiv 0 [9]$ mais en prenant $ k=10$ on a une solution mais cette solution n'est pas ce que j'attends.
Prenons par exemple $m=11,\ n=10m =110$ est bien multiple de $m$, par ailleurs la somme de ses chiffres en base 10 est 2. On veut que la somme des chiffres soit aussi $m$ (ici 11).
Quelqu'un a-t-il une approche ?
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Réponses
Prendre alors $n=\sum\limits_{i=0}^{m-1}10^{\ell+i(k-\ell)}$.