L'axiome du choix
Bonjour
Je me rends compte que je n'ai rien compris à l'axiome du choix et aimerais que vous m'aidiez à progresser dans sa compréhension.
En effet cet axiome précise que l'ensemble des fonctions choix est non vide. Comment alors choisir une fonction choix dans cet ensemble non vide?Merci de vos éclaircissements.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Cela dit, ça n'exclut pas sur des exemples qu'on puisse en exhiber une.
Lorsqu'un ensemble est non vide, on est sûr aussi qu'il existe un élément de cet ensemble. Ce " il existe une fonction choix " comporte le verbe " il existe " dont je ne comprends pas clairement la signification mais ce n'est pas l'aspect non constructif qui m'embarrasse.
On pourrait quand un ensemble est non vide dire aussi il existe un élément de cet ensemble qui ... Pourquoi n'est ce pas possible et faut- il passer par un nouvel axiome de la théorie des ensembles ?
J'essaie de comprendre mais suis rebuté pour le moment.
MERCI.
L'axiome du choix n'est pas immédiat à comprendre, voilà ce qu'en disait Jerry Bona (un grand mathématicien)
L'axiome du choix est trivialement vrai, le théorème de Zermelo est trivialement faux et personne ne sait quoi dire sur le lemme de Zorn.
Je rappelle que les 3 termes précédents sont équivalents.
L'axiome du choix ne dit qu'une seule chose sur les fonctions de choix : il en existe au moins une, mais ne dit rien sur ce à quoi elle ressemble.
Bien sûr, il y a des exemples où l'axiome du choix est inutile (une infinité de paires de gants (on choisit systématiquement le gauche, par exemple)) et d'autres où on ne peut s'en passer (une infinité de paires de chaussettes)
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je tenais à préciser dans ma réponse à gérard0 et à Héhéhé la chose suivante.
Imaginons que l'on fasse une démonstration ou intervient un polynôme P.
phrase 1. Je peux très bien écrire il existe x de R (les réels) tel que P(x) =0 ...
Let $(A_i)_{i \in I} $ a family of subsets of a set $X$. If $I \neq \emptyset$ and $A_i \neq \emptyset \ \ \forall i \in I$, then $\prod_{i \in I} A_i \neq \emptyset $
$\prod_{i \in I} A_i $ is defined as the set of all mappings $f : I \rightarrow X$ such that $f(i) \in A_i \ \ \forall i \in I$
Il n'y a rien à "comprendre" dans un axiome.
Il a été démontré que cet axiome du choix est indépendant du reste des axiomes de la théorie des ensembles. Il reste donc simplement à choisir entre l'ajouter ou ne pas l'ajouter. Et à faire le bilan entre les deux choix.
On peut aussi dire: j'aime bien avoir une base dans un espace vectoriel sans base dénombrable, mais je n'aime pas le paradoxe de Banach-Tarski. Tant qu'on n'utilise ni l'un ni l'autre, cela n'a pas grande importance.
Cordialement, Pierre.
L'axiome du choix affirme qu'à partir d'ensembles de départ non-vides, un autre ensemble (à savoir le produit) est non-vide également.
Le fait que cet ensemble de fonctions soit non-vide n'est pas une donnée du problème, c'est l'axiome du choix qui l'affirme.
1) La négation de $X = \emptyset$ est équivalente à $\exists x, \quad x \in X$ est un axiome qui n'a rien à voir avec l'axiome du choix et qui ne suscite pas du tout le même débat.
2) Bien souvent, on trouve dans des démonstrations, des phrases ressemblant aux suivantes :
"On vient de démontrer que $X$ est non vide. Choisissons un élément $x$ de $X$. A partir d'un tel $x$, fabriquons $patati patata$. On a alors $P(patati patata)$, ce qu'il fallait démontrer."
Je crois que j'ai beaucoup progressé en logique quand j'ai compris que ce paragraphe ne voulait rien dire d'autre que la chose suivante :
a) $\exists x, \quad x\in X$ ;
b) $\forall x \in X,\quad P(f(x))$ ($f$ étant définie autre part) ;
c) Donc, d'après a) et b), $\exists y \in Y, \quad P(y)$.
Sous cette forme, je trouve ça beaucoup plus clair qu'il n'y a pas de "choix" du tout.
3) Pour dire ça de façon intuitive, le "problème" soulevé par l'axiome du choix n'est pas qu'il est difficile de faire un choix parmi un ensemble non vide de possibilités (on peut peut-être s'intéresser à ce problème mais il est tout à fait différent), mais qu'on peut concevoir qu'il soit parfois impossible de faire une infinité de choix de façon simultanée.
Je vous remercie pour ces multiples interventions. Il faut maintenant que cela mûrisse car pour comprendre il faut accepter de faire un pas en avant pour deux pas en arrière.
Il est normal contrairement à ce que dit Cyrano de " s'emmêler les pinceaux " car cela fait partie aussi de l'apprentissage des mathématiques.
J'ai déjà entendu un professeur dire " En Mathématique, je ne comprends pas que l'on ne comprenne pas ". Est ce une caricature du professeur de mathématiques " et dans ce cas très injuste ou bien une réalité !
C'est à chacun d'y répondre ! Car si les mathématiques sont affaire de logique, c'est loin de n'être que cela. Que l'on songe au livre de jacques NIMIER " mathématiques et affectivité ".
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je n'ai nullement dit dans ma dernière réponse que je suis satisfait mais que j'ai un travail à faire à partir de vos réponses.
Je ne sais à l'avance ce que me réserve ce travail mais ce qui est sûr, c'est que je dois essayer de m'imprégner des réponses des uns et des autres pour essayer d'avancer.
Bonne soirée.
J’écris un message car une discussion avait évoqué l’AC dans un cas « simple » que j’ai retenu.
On considère deux réels $a$ et $b$ distincts avec $a<b$.
Une fonction $f$ de $[a;b]$ dans $\mathbb R$ continue et dérivable sur $]a;b[$.
Soit $x \in ]a;b[$, alors on applique le TAF et il existe $c_x \in ]a;x[$ tel que $f(x)=f'(c_x)(x-a)+f(a)$.
La question est la suivante : ce nombre $c_x$ n'est pas unique, il peut exister " plusieurs $c_x$ ".
Voilà ce dont je me souviens :
Pour avoir le droit de dire « il existe une fonction qui à n'importe quel $x$ dans $]a;b[$, associe $c_x$ », il faut invoquer l'AC.
Dites-moi si j'ai mal compris.
Une chose est moins difficile : si pour chaque $x$, ce $c_x$ est unique, alors sans AC, on a bien cette fonction qui à $x$ associe $c_x$.
Oui, j'ai du travail sur ces choses là...
Merci @Martial, en effet ! Ma mémoire est étrange. Je retiens ce genre de discussions mais pas d’autres…
En effet, @gerard0, c’est ce « pragmatisme » qui m’empêche de passer un cap.
Je le dis à nouveau, je ne suis pas au niveau…
Avec la fonction nulle sur $[0;1]$, ça donne « quel que soit $x$ dans $]0;1[$, il existe $c_x$ tel que $0=0$ » 🤣 me voilà bien. En fait, n’importe quel réel de $]0;x[$ convient. Mais l’existence de cette fonction $x\mapsto c_x$ me semble évidente. Je suis comme « bloqué ».
@Blanc , n'hésite pas à dire si mon intervention brouille ton fil.
Cette discussion m'avait laissé une lumière allumée, voilà pourquoi j'en reparle.
Je ne vais pas alimenter dans d'autres directions car je ne veux pas détourner le fil.
Peut-être était-ce sur "les fonctions" en général, ou alors sur l'Axiome du Choix.
C'était dans l'ancienne version du forum... disons vers 2019 ou 2020 mais sans non plus être certain...
Merci
Dommage, si tout (ou une partie) avait déjà été expliqué.
Mais pour répondre à ta question (même si je ne suis pas logicien) tu n'as pas besoin de AC pour choisir un $c_x$.
PS. Si un logicien passe par là il pourra confirmer...
la première façon (la foireuse) est celle-ci : pour tout $x\in O$ il existe un ouvert $O_x$ tel que $x\in O_x\subset O$. Par conséquent $O=\bigcup_{x\in O}O_x$ est ouvert. Ici on utilise l'axiome du choix, on "choisit" pour chaque $x$ un voisinage ouvert parmi les voisinages ouverts possibles. La façon "propre" de rédiger (et qui fait clairement apparaître l'utilisation de AC) est la suivante : on sait que pour tout $x\in X$ l'ensemble des voisinages ouverts de $x$ contenus dans $O$, noté $V_x$, est non vide. Soit alors $F:\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))\to \mathcal{P}(X)$ une fonction choix. On a $O=\bigcup_{x\in O}F(V_x)$.
la deuxième façon (sans AC) est celle-ci : pour tout $x\in O$ notons $V_x$ l'ensemble des voisinages ouverts de $x$ contenus dans $O$ ($V_x$ est non vide par hypothèse) et soit $U_x:=\bigcup_{U\in V_x} U$. Alors $O=\bigcup_{x\in O} U_x$. Ici on ne "choisit" pas un voisinage particulier pour chaque $x$.
PS. Je remercie encore l'intervenant qui a donné cet exemple, car il montre que l'on peut utiliser à mauvais escient AC par manque de connaissance en théorie des ensembles. D'ailleurs je crois avoir déjà rédigé la premier preuve (la foireuse quoi) sans m'en rendre compte...
Démo "foireuse" :
Soit $K$ un compact de $X$ séparé. Soit $x \not \in K$. Pour tout $y \in K$, il existe un couple de voisinages $(U,V)$ tels que $U$ est voisinage de $x$, $V$ l'est de $Y$ et $U$ et $V$ sont disjoints. Soit $(U_y,V_y)_{y \in K}$ une famille de choix. Alors $K \subset \bigcup_{y \in K} V_y$, et donc il existe un sous-ensemble fini $F \subset K$ tel que $K \subset \bigcup_{y \in F} V_y$, et alors $U := \bigcap_{y \in F} U_y$ est un voisinage de $x$ qui est disjoint de $K$. Donc $K^c$ est voisinage de tous ses points.
Exercice : se débarrasser de l'usage de AC.
Indication :
(La réunion des ouverts contenus dans une partie $K$ est contenue dans $K$, et si $K$ es voisinage de tous ses points, chaque point de $K$ appartient à un ouvert contenu dans $K$. Par suite, $K$ coïncide avec cette réunion et est ouvert).
J'apprends ce résultat passionnant que ZF +AC est non contradictoire si ZF n'est pas contradictoire et que ZF +négation de AC est non contradictoire si ZF n'est pas contradictoire. Et que malheureusement on ne sait pas si ZF est contradictoire.
Mes nouvelles questions sur l'axiome du choix qui ne me pose plus de problème du fait que je l'avais envisagé sous un angle qui n'était pas le bon sont les suivantes.
1) Y a-t-il des résultats intéressants avec ZF + négation de l'axiome du choix ?
2) Comment font les mathématiques constructivistes pour se passer de l'axiome du choix ?