Signe de la dérivée seconde et de la dérivée troisième

Nora-math

Bonjour, j'ai deux deux fonctions $f,g$ avec $f$ de classe $C^2$ et $f^{(3)}\in L^1$ et la fonction $g$ est de classe $C^3$.
Si on suppose que $\ \min\limits_{x\in[a,b]} \big(f'(x)-g'(x)\big)=f'(x_0)-g'(x_0)<0$ et qu'il existe $x\in[a,b],\ g'(x)>f'(x)$.
Comment montrer que si $x_0\in\, ]a,b[$ alors $f''(x_0)=g''(x_0)$ et $f'''(x_0)\geq g'''(x_0)$ ?
Sachant que $(f-g)'(a)>0$ et $(f-g)'(b)>0$.
Merci.
[Ne pas confondre couple et intervalle ouvert ! AD]

JLapin

Pose $h=f'-g'$, et fais un dessin.

Nora-math

comment faire un dessin je n'ai pas les fonctions 

JLapin

Tu as assez d'hypothèses sur $h$ pour faire un dessin adapté.

Nora-math

franchement je n'ai pas su faire, vous pouvez me donner un indice sur comment démontrer 

JLapin

Utilise des conditions nécessaires d'extremum bien connues sur la fonction $h=f'-g'$.

Positif

Je ne comprends pas la deuxième ligne.
$f'(x_0) - g'(x_0) < 0 $ et à coté "il existe $x$ tel que $g'(x) > f'(x)$", mais c'est la même chose.  Car $x_0$ convient.

lourrran

C'est ce qui arrive quand on donne un énoncé, en le re-rédigeant : j'ai 2 fonctions ... 
Je ne pense pas que l'exercice initial était formulé comme ça.
Le premier travail de l'aidant devient : ok, quel était l'énoncé réel ?