Reste d'une série et équivalent

OShine

Bonjour
J'ai quelques difficultés avec cette exercice et surtout la première question. La deuxième me semble facile, un simple calcul de DL et d'équivalents.
Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels tendant vers $0$ telle que : $u_n -u_{n+1} \sim u_{n+1}-u_{n+2}$. 
1) Montrer que $r_n = \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} (-1)^p u_p \sim \dfrac{ (-1)^n u_n}{2}$.
2) Application : déterminer un équivalent de $r_n = \displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{ \ln k}{k}$.

lourrran

Si la 2ème question te paraît facile, fais-là !
Tu utilises le résultat à démontrer dans la 1ère, et tu fais la 2ème question.

Systématiquement, tu dis ça : la 2ème question paraît plus facile.  Les types qui font les exercices doivent être particulièrement nuls, parce qu'ils essaient généralement de faire l'inverse.

OShine

D'accord ! Bon pas si facile, il m'a fallu 20 minutes pour trouver l'équivalent.
On pose $u_k = \dfrac{ \ln k}{k}$. La suite $u$ est décroissante et tend vers $0$ par croissances comparées. 
On a : $u_n -u_{n+1} = \dfrac{ \ln n}{n} -  \dfrac{ \ln n + \ln (1+1/n)}{n+1} = \dfrac{\ln n -n \ln (1+1/n)}{n(n+1)}$
Comme $\ln (1+x) \sim x$ on a : $\boxed{u_n -u_{n+1}  \sim  \dfrac{- 1}{n^2} }$
De plus :  $u_{n+1} -u_{n+2} =   \dfrac{ \ln n+ \ln (1+1/n)}{n+1} -  \dfrac{ \ln n + \ln (1+2/n)}{n+2} = \dfrac{\ln n +(n+2) \ln (1+1/n)- (n+1) \ln (1+2/n)}{(n+1)(n+2)} $
Donc $u_{n+1} -u_{n+2}  \sim  \dfrac{(n+2) \ln (1+1/n)- (n+1) \ln (1+2/n)}{(n+1)(n+2)} $
Or $(n+2) \ln (1+1/n)- (n+1) \ln (1+2/n) = (n+2) (1/n + o(1/n) ) -(n+1) ( 2/n + o(1/n) ) = -1 + o(1)$ 
Ainsi $\boxed{u_{n+1} -u_{n+2}  \sim \dfrac{-1}{n^2} }$ 
Par transitivité de la relation d'équivalence on a finalement $\boxed{u_n -u_{n+1} \sim u_{n+1} -u_{n+2} }$. 
Ainsi, $\boxed{\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{ \ln k}{k} \sim \dfrac{ (-1)^n \ln n}{2n} }$.

MrJ

Je pense qu’il suffit d’écrire : $u_n - u_{n+1} =\dfrac{u_n - u_{n+1}}{2} + \dfrac{u_n - u_{n+1}}{2}$, puis d’utiliser les règles sur les sommations des équivalents pour faire apparaître une somme télescopique.

Alexique

Tes équivalents sont faux OShine. Tu pouvais t'en rendre compte vu que tu trouves des signes négatifs alors que la suite $(u_n)_n$ est à priori décroissante APCR. Dommage, encore très peu d'autovérificaton, d'autonomie et de remise en question de tes propres résultats. Je note :

OS : La deuxième me semble facile, un simple calcul de DL...

puisque tu juges "facile" un DL sur lequel tu te plantes royalement. 

OShine

@MrJ je n'ai pas trop compris ta méthode.
Si je distingue les cas pair et impair. Soit $N \geq 2n +1$. On s'intéresse à la somme partielle :  $A_n=\displaystyle\sum_{k=2n}^{2n+2N+1} (-1)^k u_k$ .
Si $2n \leq 2p \leq 2n+2N+1$ alors $n \leq p \leq  n+N$. Si $2n \leq 2p+1 \leq 2n+2N+1$ alors $n  \leq p \leq  n+N$
Donc $A_n = \displaystyle\sum_{p=n}^{n+N}  (u_{2p}-u_{2p+1} )$. Ainsi en passant à la limite :  $\boxed{r_{2n} = \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty}  (u_{2p}-u_{2p+1} )}$
On s'intéresse à la somme partielle :  $B_n=\displaystyle\sum_{k=2n+1}^{2n+2N+2} (-1)^k u_k$ .
Si $2n+1 \leq 2q+1 \leq 2n+2N+2$ alors $n \leq q \leq  n+N$. Si $2n+1 \leq 2q+2 \leq 2n+2N+2$ alors $n  \leq p \leq  n+N$
Donc $A_n =- \displaystyle\sum_{p=n}^{n+N}  (u_{2p+1}-u_{2p+2} )$. Ainsi en passant à la limite :  $\boxed{r_{2n+1} = -\displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty}  (u_{2p+1}-u_{2p+2} )}$
$(r_n)$ étant convergente, les sous-suites $(r_{2n}) $ et $(r_{2n+1})$ sont convergentes et d'après la sommation de relations d'équivalents on en déduit :  $\boxed{r_{2n} \sim - r_{2n+1}}$
Mais $r_{2n} =  \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} (-u_{2p+1} +u_{2p+2} ) + (u_{2p}- u_{2p+2} ) = r_{2n+1} +u_{2n}$ car $u$ tend vers $0$ en plus l'infinie.
Donc $u_{2n} = 2 r_{2n} + o( r_{2n})$. Ainsi $\boxed{r_{2n} \sim \dfrac{ u_{2n}}{2}}$ . 
Mais on sait que $ r_{2n+1} \sim -r_{2n} \sim -\dfrac{ u_{2n}}{2}$. On a montré $\boxed{r_{2n+1} \sim \dfrac{ - u_{2n}}{2}}$ .

MrJ

Dans les grandes lignes (si $n=2m$ est pair) :

\begin{align*}r_n &= \sum_{p=n}^{+\infty} (-1)^p u_p = \sum_{q=m}^{+\infty} \left(u_{2q} - u_{2q+1}\right) \\&= \dfrac{1}{2}\sum_{q=m}^{+\infty} \left(u_{2q} - u_{2q+1}\right) + \dfrac{1}{2}\sum_{q=m}^{+\infty} \left(u_{2q} - u_{2q+1}\right)\\& \sim \dfrac{1}{2}\sum_{q=m}^{+\infty} \left(u_{2q} - u_{2q+1}\right) + \dfrac{1}{2}\sum_{q=m}^{+\infty} \left(u_{2q+1} - u_{2q+2}\right) \\&= \dfrac{1}{2}\sum_{q=m}^{+\infty} \left(u_{2q} - u_{2q+2}\right) = \dfrac{u_n}{2}.\end{align*}

Édit : Désolé pour la mise en page, je n'arrive pas à utiliser les balises align*...
[Il faut mettre tout ce qu'il y a entre \begin{align} et end{align} sur la même ligne. AD]

OShine

Ah merci, très astucieux