Topologie quotient séparé

Diameyy

Bonjour
Soit $X$  un espace topologique, $\mathcal R$ un relation d'équivalence tq $\forall x,y \in X,\ x\mathcal Ry$ ssi pour tout espace topologique séparé $Y$ et $f: X \to Y$ continue, $f(x)=f(y)$.
On veut montrer que $X/\mathcal R$ muni de la topologie quotient est séparé.

Mon idée était de choisir deux classes différentes dans $X/\mathcal R$ et de choisir un représentant dans $X$. On peut facilement voir que ceux-ci sont séparés par $f$ dans $Y$ et que donc ils sont également séparés dans $X$. Le problème c'est pour revenir à $X/\mathcal R$ ! Rien ne peut garantir que les ouverts de $X$ sont ouverts dans $X/\mathcal R$ donc je bloque. Il faudrait montrer que la projection canonique est ouverte mais encore une fois je vois mal comment le montrer ici. 
Merci d'avance.

Thierry Poma

Bonjour

Quel lien y a-t-il entre Y, espace topologique séparé, et f ? Veux-tu préciser ?

Diameyy

Désolé j'ai oublié de l'écrire, f va de X dans Y et Y est séparé

gerard0

Bonjour Diameyy.

De quelle topologie est muni $\frac X{ \mathcal R}$ ?

Je pose la question car tu écris "Rien ne peut garantir que les ouverts de $X$ sont ouverts dans $X/\mathcal R$" alors qu'il est justement garanti que non puisque les ouverts de $X$ ne sont pas des parties de $\frac X {\mathcal R}$.

Cordialement.

raoul.S

Diameyy, ta façon de faire fonctionne. Les ouverts que tu obtiens dans $X$ sont des ouverts saturés et donc leur image par la projection canonique est ouverte.

Je développe pour être clair : si $cl(x)\neq cl(y)$ alors il existe un espace séparé $Y$ et une fonction continue $f:X\to Y$ telle que $f(x)\neq f(y)$. Il existe donc deux ouverts $U,V$ de $Y$ qui séparent $f(x)$ et $f(y)$. Les ouverts $f^{-1}(U)$ et $f^{-1}(V)$ séparent $x$ et $y$.

Or en notant $\pi:X\to X/\mathcal R$ la projection canonique, on vérifie facilement que $f^{-1}(U)=\pi^{-1}(\pi(f^{-1}(U)))$ et donc $\pi(f^{-1}(U))$ est ouvert (idem pour $V$). En effet si $u\in \pi^{-1}(\pi(f^{-1}(U)))$ alors il existe $x'\in f^{-1}(U)$ tel que $\pi(u)=\pi(x')$ et donc $u\mathcal Rx'$ et donc $f(u)=f(x')$ et donc $u\in f^{-1}(U)$. Ce qui prouve que $\pi^{-1}(\pi(f^{-1}(U)))\subset f^{-1}(U)$ (l'inclusion inverse étant triviale).

Caushy99

raoul.S
Pouvez-vous me donner des indications ?

Je dois montrer qu'un espace topologique quotient est séparé.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

raoul.S

Il faudrait que tu postes ton exo, je ne pense pas que c'est le même que celui de Diameyy (existence du "séparé universel").