Rayon de convergence d'une série entière

L2M

Bonsoir

Soit $(a_n)_{n\geq0}$ une suite de nombres réels tels que la série $\sum_{n=0} a_{n} t^{n}$ ait un rayon de convergence non nul $ R$.

$-$ Est-ce que le rayon de convergence de la série $\sum_{n=0} \binom{x}{n} a_{n} t^{n},\ x\in \mathbb{R}$, change suivant la valeur de $x$ ?

NB. On sait que pour tout $x\in \mathbb{R}$, la série $\sum_{n=0} \binom{x}{n} a_{n} t^{n}$ a un rayon de convergence $\rho_x \geq R$.

Merci.

bisam

Si $x$ est un entier naturel, le terme général est nul à partir d'un certain rang donc le rayon est infini.

Sinon, $\binom{x}{n} \sim \frac{x^n}{n!}$ lorsque $n\rightarrow +\infty$ donc $a_nt^n \binom{x}{n} = o(\frac{x^n}{n!})$ et par conséquent la série converge absolument pour tout complexe $t$, par comparaison à la série exponentielle.

Donc, à nouveau, le rayon est infini.

Conclusion, le rayon ne change pas suivant la valeur de $x$ : il est tout le temps infini.

Lars

Bonjour,

Oubli d'un t collé au x dans le o.

L2M

Et si $a_n=1$ pour tout $n$ !

bisam

Oups, mon équivalent de $\binom{x}{n}$ est complètement faux...

Pomme de terre

Si $x$ est un entier naturel, alors $\binom xn$ et nul pour tout $n > x$, donc le rayon de convergence est infini.

Si ce n'est pas un entier naturel, $\dfrac{\binom x{n+1}}{\binom xn} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 1$ donc le rayon de convergence est $R$.

Si ce n'est pas un entier naturel, $\dfrac{\binom x{n+1}}{\binom xn} \xrightarrow[n\to+\infty]{} -1$ donc le rayon de convergence est $R$.

bisam

Ah, je ne suis pas le seul à dire des bêtises aujourd'hui.

L2M

Pdt, je crois que tu as inversé la règle d'Alembert.

L2M

Ton raisonnement marche si on a en plus $\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \vert \to \frac{1}{R}$.

Pomme de terre

Ça fonctionne dans tous les cas.

Supposons $x \in \R\setminus \N$. Soit $r$ un réel strictement positif. Les $\binom xn$ ne s'annulent pas donc, d'après D'Alembert et la limite du quotient, $$\left|\binom xn \right| r^n \xrightarrow[n\to\infty]{} \begin{cases}+\infty & \text{si $r > 1$},\\ 0 & \text{si $r < 1$}.\end{cases}$$

Par ailleurs, tout réel $r > R$ peut se décomposer sous la forme $r = r_1 r_2$ avec $r_1 > 1$ et $r_2 > R$. De même, si $r < R$ on peut le décomposer sous la forme $r = r_1 r_2$ avec $0 < r_1 < 1$ et $0 < r_2 < R$. Sachant que $R$ est le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$, on en déduit bien que : $$\limsup_{n\to+\infty} \left|\binom xn a_n\right| r^n = \begin{cases}+\infty & \text{si $r > R$},\\ 0 & \text{si $r < R$}.\end{cases}$$

confinoum0211

@Pomme de terre. A titre culturel uniquement, je ne comprends pas la décomposition de r sous la forme du produit r_1r_2 dans les 2 cas ? 

Pomme de terre

Si $r > R$, on pose par exemple $r_1 = \sqrt{\frac rR}$ et $r_2 = \sqrt{rR}$ de sorte que $r_1 > 1$ et $r_2 > R$.

On a donc :

$$\lim_{n\to+\infty} \left|\binom xn r_1^n\right| = +\infty\quad \text{et}\quad \limsup_{n\to+\infty} \left|a_n r_2^n\right| = +\infty,$$

puis on conclut pour la $\limsup$ du produit.

L2M

Pdt

Si j'ai bien compris, ton raisonnement reste valable pour toute série de la forme $\sum_{n=0} a_{n} b_{n} t^{n}$ tel que les deux séries $\sum_{n=0} a_{n} t^{n}$ et $\sum_{n=0} b_{n} t^{n}$ ont des rayons de convergences respectifs, $0<R_1<+\infty$ et $0<R_2<+\infty$.

Je vais essayer de reformuler ta réponse de la manière suivante (sans passer par la notion de limite sup.) :

$1-$ La suite $\left(a_n r_1^n\right)_n$ est bornée si, et seulement si, $0<r_1<R_1$.

$2-$ La suite $\left(b_n r_2^n\right)_n$ est bornée si, et seulement si, $0<r_2<R_2$.

Soit $r>0$.

$-$ Si $0<r<R_1R_2$, alors il existe $0<r_1<R_1$ et $0<r_2<R_2$ tel que $r=r_1r_2$. D'après (1) et (2) la suite $\left(a_n b_n r^n\right)_n$ est le produit de deux suites bornées donc elle est bornée.

$-$ Si $r>R_1R_2$, alors il existe $r_1>R_1$ et $r_2>R_2$ tel que $r=r_1r_2$. D'après (1) et (2) la suite $\left(a_n b_n r^n\right)_n$ est le produit de deux suites non bornées donc elle est non bornée.

Finalement,

La suite $\left(a_n b_n r^n\right)_n$ est bornée si, et seulement si, $0<r<R_1R_2$.

Donc le rayon de cette dernière série est $R_1R_2$.

Y a-t-il un détail qui m'échappe ? Merci.

Pomme de terre

Un détail enquiquinant : le produit de deux suites non bornées peut tout à fait être une suite bornée !

Par exemple $a_n = 2^{(-1)^n n}$ et $b_n = 1/a_n$ donnent $R_1=R_2 = \frac12$, mais $R = 1$ pour le produit...

C'est pour ça que j'utilise une vraie limite pour l'une des deux au lieu d'une limsup.

Dans le cas général, on peut ajouter l'hypothèse $\frac1{R_1} = \lim_{n\to+\infty} |a_n|^{1/n}$ pour éviter le problème.

confinoum0211

@Pomme de terre. Merci pour la précision sur le produit r_1r_2

L2M

Merci Pomme de terre.

L2M

Pomme de terre a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2363228/#Comment_2363228

Je viens de réviser un peu la notion de limite supérieure et limite inférieure.

En général, pour des $\textcolor{blue}{\text{suites réelles positives}}$ à partir d'un certain rang, on a : $$\liminf a_n \times \limsup b_n \leq  \limsup (a_n \times b_n) \leq  \limsup a_n \times \limsup b_n.$$

Donc si on suppose que la suite $(a_n)$ est convergente, alors $\liminf a_n = \limsup a_n =\lim a_n$. Ainsi,

$$\limsup (a_n \times b_n) = \lim a_n \times \limsup b_n.$$

Merci encore Pomme de terre.

troisqua

@L2M : tu dis "en général on a [...]". Il faut quand même s'assurer de la positivité des suites $a$ et $b$. De mon côté je propose quelque chose d'un un peu différent.

On a, en posant $b_{n}=\begin{pmatrix}x\\n\end{pmatrix}a_{n}$ et $c_{n}=\left|\begin{pmatrix}x\\n\end{pmatrix}\right|$, pour tout naturel $n$ : \[ \left|b_{n}\right|^{1/n}=c_{n}^{1/n}\left|a_{n}\right|^{1/n}\left(*\right) \] Si $x\in\mathbb{N}$ alors $c_{n}$ est nul à partir du rang $x+1$.Donc $\left|b_{n}\right|^{1/n}\underset{n}{\longrightarrow}0$ et donc $\sum_{n}b_{n}t^{n}$ a un rayon infini. Sinon on a pour tout naturel $n$ non nul, par Cesàro : \[\frac{1}{n}\ln c_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k\in n}\ln\left|\frac{x-k}{k+1}\right|\underset{n}{\longrightarrow}0\]et donc, par continuité de l'exponentielle en $0$ : $c_{n}^{1/n}\underset{n}{\longrightarrow}1$. Donc $\left(*\right)$ entraîne, par  positivité, \[\overline{\lim}_{n}\left|b_{n}\right|^{1/n}=\overline{\lim}_{n}\left|a_{n}\right|^{1/n}\] et donc $\sum_{n}a_{n}t^{n}$ et $\sum_{n}\begin{pmatrix}x\\n\end{pmatrix}a_{n}t^{n}$ ont même rayon quand $x$ n'est pas entier

L2M

troisqua, J'ai ajouté la condition.

On peut aussi utiliser ta méthode mais cette foi avec la règle d'Alembert. $c_{n+1}/c_n\underset{n}{\longrightarrow}1$. À condition que les termes $a_n$, à partir d'un certain rang, soient tous non nuls.

troisqua

Oui, c'est à cause de cette contrainte sur les $a_n$ que j'ai préféré Cauchy.