Endomorphisme conservant l'orthogonalité $\implies$ isométrie ?

fifi21

Bonjour
J'aimerais une indication concernant la question suivante s'il vous plaît.
Soit $u$ un endomorphisme non nul conservant l'orthogonalité. Montrer qu'il existe $c>0,\ u/c$ est une isométrie.
Je n'ai pas trop d'idée, à part dire que si $<x,y>\, =0$ alors $<u(x),u(y)>\,=0.$..
Je dirais qu'il faut trouver $c$ tel que $u/c$ préserve le produit scalaire, et ça doit sûrement être bête au vu de l'hypothèse ... mais je ne vois pas
Merci, bonne journée.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Tu peux regarder ce qu'il advient d'une base orthonormée quand on lui applique $u$. Tu vois ce qu'il faut démontrer sur l'image de cette base pour conclure que $u$ est la composition d'une homothétie avec une isométrie ?

fifi21

une isométrie envoie une base orthonormée sur une base orthonormée, donc il faudrait que je trouve $c$ pour que les images soient encore orthonormées mais j'ai un peu de mal 

Soc

Tu peux considérer l'image de 2 vecteurs orthogonaux comme e1+e2 et e1-e2.

Foys

Pour une méthode alternative (mais peut-être moins rapide in fine), on peut écrire $u=v \circ d$ avec $v$ orthogonal et $d$ auto-adjoint (diagonalisable en base orthonormée). Soient alors  $\lambda,\mu$ valeurs propres distinctes de $d$, $x,y$ non nuls (forcément orthogonaux) tels que $d(x)=\lambda x$ et $d(y)=\mu y$, on peut s'en servir pour constater que $\lambda^2 -\mu^2=0$ (il existe $s,t\in\R$ tel que $tx+y$ et $sx+y$ sont orthogonaux) ce qui est contraignant.

GaBuZoMeu

mais peut-être moins rapide in fine

sûrement !

@fifi21 : tu n'es pas assez précis dans ce que tu as à montrer. Tu as à montrer :

1°) que l'image de la base orthonormée est une famille orthogonale,

2°) que tous les vecteurs de cette famille ont même norme.

Le 2° est un peu moins évident, mais Soc a vendu la mèche.

Soc

L'idée pour t'aider à trouver toi-même qui choisir est de comprendre pourquoi une matrice comme$$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\  0 & 1 \end{pmatrix}$$ ne conserve pas l'orthogonalité. Tu choisis ensuite les vecteurs orthogonaux les plus simples possibles qui mettent en défaut cette matrice sur l'orthogonalité et tu vois ce qui se passe.

fifi21

Pour le 1), on a $<e_i,e_j>=0\implies <u(e_i),u(e_j)>\,=0$ par hypothèse sur $u$
pour le 2), avec l'indication de Soc, j'obtiens $<u(e_1),u(e_1)>\,=\,<u(e_2),u(e_2)>$, donc pour avoir une base orthonormée, il faudrait que ceci soit égal à 1.

GaBuZoMeu

As-tu bien lu la condition 2° ?

fifi21

oui, mais sauf erreur de ma part, une base orthonormée est constituée de vecteurs de norme 1, non ?
Dès lors, je ne vois pas quel $c>0$ il faudrait choisir pour obtenir la conclusion

Soc

Par combien faut-il diviser pour que la norme de u(e1) soit 1?

fifi21

par $\Vert u(e1)\Vert$, non ?

Soc

Bah voilà. (si tu es encore coincé, rédiges ici ce que tu as déjà fait que l'on comprenne où/pourquoi)

fifi21

Voilà mon raisonnement pour le moment.

On cherche $c>0$ tel que $u/c$ soit une isométrie, ie on veut que $u/c$ envoie une b.o.n sur une b.o.n
Soit $(e_1,\dots, e_n)$ une b.o.n, alors $<e_i,e_j>=\delta_{i,j}$
On a $<u/c(e_i),u/c(e_j)>\,=\frac{1}{c^2}<u(e_i),u(e_j)>\,=0 $ car $u$ préserve l'orthogonalité, donc $u/c$ envoie une b.o.g sur une b.o.g
Puis, comme $e_i+e_j$ et $e_i-e_j$ sont orthogonaux, on a $<u(e_i+e_j),u(e_i-e_j)>\,=0$ donc en développant, $<u(e_i),u(e_i)>\, =\,<u(e_j),u(e_j)>$ donc $\frac{1}{c^2}<u(e_i),u(e_i)>\,=\frac{1}{c^2}<u(e_j),u(e_j)>$, en choisissant $c=\sqrt{\Vert u(e_i )\Vert}$, on a bien $\Vert u/c(e_i)\Vert=1$.

troisqua

Reste plus qu'à écrire le raisonnement dans l'ordre (et le bon sens) et justifier que $c$ est non nul.