Catégorie des groupes topologiques abéliens

marco

Bonjour,

Quelqu'un m'a posé la question suivante: la catégorie des groupes topologiques abéliens est-elle une catégorie abélienne ? Je ne sais pas répondre.

Merci d'avance

JLT

Je me réfère à ce texte https://fr.wikipedia.org/wiki/Catégorie_abélienne

Soit $A$ un sous-groupe dense d'un groupe abélien topologique $B$ et $f:A\to B$. Il me semble que le noyau et le conoyau de $f$ sont nuls mais que $f$ n'admet pas d'image satisfaisant à la définition indiquée dans le texte ci-dessus ?

Édit : ignorer mon message.

marco

Merci JLT, mais je ne comprends pas pourquoi le conoyau est nul. Par exemple, soit $A=\Q$ et $B=\R$ et $f$ l'injection de $A$ dans $B$. Si le conoyau $N^*$ est nul alors $p=0$. Soit $C=\R/ \Q$, alors $C$ est un groupe topologique (qui est muni de la topologie grossière). Soit $g: \R \rightarrow C=\R/\Q$, qui à $x$ associe $\overline{x}$, alors $g \circ f=0$. Mais, il n'existe pas de $\overline{g}$ de $N^*$ vers $C$ tel que $g=\overline{g} \circ p$, car $p=0$, mais $g \neq 0$.

raoul.S

Wikipedia dit que la catégorie des groupes topologiques n'est pas abélienne.

J'ai essayé de comprendre l'article en question, car je débute totalement, et je crois comprendre la chose suivante : dans les catégories abéliennes, le passage au quotient induit un isomorphisme sur l'image (ce qu'ils appellent "le parallèle" dans l'article) mais il se trouve que dans la catégorie des groupes topologiques ce n'est pas le cas.

Et en fait on voit facilement pourquoi : si $f:X\to Y$ est une bijection continue alors ce n'est pas forcément un homéomorphisme.

Un contre-exemple trivial au cas où : on considère $\R$ muni de la topologie discrète $D$ et $\R$ avec la topologie usuelle, alors l'identité $id:(\R,D)\to \R$ n'induit pas d'isomorphisme (dans la catégorie des groupes topologiques) en passant au quotient (donc en ne faisant rien quoi...) car ce n'est pas un homéomorphisme.

PS : en lisant une autre partie de l'article de Wikipedia je pense qu'ils considèrent en fait la catégorie des groupes topologiques séparés et ils donnent une autre raison qui fait que "le parallèle" n'est pas un iso... bref je ne suis pas sûr que ce que j'ai dit ci-dessus fait que la catégorie des groupes topologiques n'est pas abélienne. 

JLT

Oui j'ai dit n'importe quoi. Mais le message de raoul.S a l'air d'indiquer le bon contre-exemple. Si $f:A\to B$ est un morphisme continu bijectif de groupes dont la réciproque n'est pas continue, alors son noyau et son conoyau sont nuls, donc son image devrait être isomorphe dans la catégorie des groupes topologiques abéliens à la fois à $A$ et à $B$, ce qui n'est pas le cas.

marco

Merci Raoul.S et JLT.

Maxtimax

Elle n'est effectivement pas abélienne (penser au morphisme "identité" de $\mathbb R$ muni de la topologie discrète vers lui-même muni de sa topologie usuelle). Cet exemple montre par ailleurs que même pour "localement compact" on ne s'en sort pas. 

C'est ce qui motive (entre autres) la notion de "groupe abélien condensé", et plus généralement la récente invention/découverte des mathématiques condensées par Clausen et Scholze. 

On peut cela dit s'en sortir "un petit peu", au sens où on peut faire quelques éléments d'algèbre homologique avec la catégorie des groupes abéliens localement compacts - cela correspond au chapitre IV (et aux références qui s'y trouvent) dans le pdf "Condensed mathematics" de Scholze, accessible sur son site. Pour faire marcher ça, on ne s'autorise pas tous les monomorphismes, mais uniquement des monomorphismes qui sont aussi des plongements fermés. 

marco

Merci Maxtimax. C'était au sujet d'une conférence sur une généralisation de la topologie, je crois, que la personne se posait la question.