Série à termes complexes

OShine

Bonsoir,
Je n'ai pas d'idée pour résoudre la première question.
1) Nature de la série $\sum \dfrac{j^n}{\sqrt[3]{n}}$.
2) Trouver une série convergente $\sum u_n$ à termes réels telle que la série $\sum u_n ^3$ diverge.

Cere

Que vaut $1 + j + j^2$ ?

Wronskien

Pour la 1) la série converge absolument.
Que vaut le module de j ?

OShine

On a $1+j+j^2=0$.

La série ne converge pas absolument. Le module de $j$ vaut 1 et on a $1/3 <1$.

Wronskien

J'ai mal regardé le dénominateur... je croyais voir 3/2

Sinon il y a sûrement plus simple mais tu peux regarder la partie réelle et la partie imaginaire de j^n en passant par la forme exponentielle...

La série de la partie réelle et celle de la partie imaginaire  convergent simplement...

john_john

Une sommation d'Abel fonctionne aussi très bien, avec la remarque de Cere.

OShine

D'accord merci. Je rappelle que je dispose d'un corrigé mais je n'ai regardé que la première ligne pour chercher des méthodes différentes, ils étudient la suite $S_{3n}$ où $(S_n)$ désigne la suite partielle.
Je vais tenter la méthode de sommation d'Abel mais si ce n'est pas au programme du cours que j'étudie. J'ai cherché sur internet.
Posons $a_k = k^{-1/3}$ et $b_k=j^k$. On pose $A_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k $.
Alors $S_n = j+  \displaystyle\sum_{k=2}^n a_k b_k = j+  \displaystyle\sum_{k=2}^n (A_k -A_{k-1}) b_k  \\
= j +  \displaystyle\sum_{k=2}^n  A_k b_k -  \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} \\
= \boxed{ j + A_n b_n -A_1 b_2 +  \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} A_k (b_k -b_{k+1})}$
Or, $b_k -b_{k+1} = j^{k}-j^{k+1}= j^k (1-j) $ où $j = - 1 -j^2$ donc $b_k -b_{k+1} = 2j^k +j^{k+2}$.
Je n'ai pas abouti je ne comprends pas l'intérêt de cette méthode ici, ça ne simplifie rien j'ai même l'impression que l'expression de départ est moins compliquée.

Pomme de terre

Autre solution : faire des paquets de $3$, en montrant que

$$\frac{1}{\sqrt[3]{3k}} + \frac{j}{\sqrt[3]{3k+1}} + \frac{j^2}{\sqrt[3]{3k+2}} = O\left(\frac{1}{k^{4/3}}\right)$$

OShine

Pomme de terre oui joli c'est la méthode du corrigé et cela permet d'utiliser que $j^3=1$ pour simplifier.
En fait c'est de la congruence modulo 3.

C'est une technique que j'avais croisée dans certains exercices de maths sup mais ici je n'y aurais pas pensé. 

llorteLEG

Mais si c'est la méthode du corrigé pourquoi tu viens poster ton énoncé ici. Incompréhensible 

Cere

OShine a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2362801/#Comment_2362801

[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

C'est exactement ce que j'incitais à faire avec mon premier message, faire des paquets de 3.
Dès que l'on a une série $\sum_n \mathcal{R}_k^n$ où $\mathcal{R}_k$ est une racine k-ième de l'unité, il faut penser à scinder. 

Quand j'ai posé ma question, ce n'était pas pour avoir la réponse et c'est tout. 
C'était pour que tu utilises cette information pour résoudre l'exercice.

Alexique

Donc en fait tu postes pour nous coller c’est ça ? Pour savoir si on va trouver la méthode du corrigé ou pas ? Et si on ne trouve pas la méthode du corrigé, tu te dis « pas grave, l’exo était infaisable, personne sur le forum n'y a pensé… ». Ou alors le corrigé ne te plait pas parce que tu n’as pas eu l’idée tout seul ou parce que tu ne l’as pas compris et donc tu nous demandes une autre méthode ? 

OShine

llorteLEG a dit :

Mais si c'est la méthode du corrigé pourquoi tu viens poster ton énoncé ici. Incompréhensible 

Pour voir s'il y a d'autres méthodes et d'autres idées à explorer pour résoudre l'exercice.

OShine

J'aimerais bien savoir comment faire avec la sommation d'Abel.... J'y ai passé 30 min je n'ai pas réussi.

Alexique

Abel, c'est une IPP discrète. Tu as choisi de primitiver $a_k=k^{-\frac13}$ (série divergente) ce qui donne encore une série divergente et de dériver $b_k=j^k$ divergente ce qui donne encore une série divergente. Comment dire ? Tu avais deux possibilité et tu as pris la mauvaise, sûrement parce que tu fais au pif sans trop savoir pourquoi tu fais les choses comme d'habitude. 

Essaye déjà de trouver la nature de l'intégrale impropre $\int_0^{\infty} \frac{\cos(x)}{\sqrt[3]{x}}dx$, tu comprendras peut-être où je veux en venir.

OShine

Le truc c'est que je ne maîtrise pas la transformation d'Abel je n'ai jamais étudié un cours dessus et c'est hors programme des classes prépas.
J'ai vu rapidement sur le net la formule mais je n'ai aucun recul sur le sujet.

Les intégrales impropres je n'ai pas encore étudié le cours. Là je suis sur les séries vectorielles et après je vais entamer les familles sommables la semaine prochaine. 

OShine

Le truc c'est que je ne maîtrise pas la transformation d'Abel je n'ai jamais étudié un cours dessus et c'est hors programme des classes prépas.
J'ai vu rapidement sur le net la formule mais je n'ai aucun recul sur le sujet.

Les intégrales impropres je n'ai pas encore étudié le cours. Là je suis sur les séries vectorielles et après je vais entamer les familles sommables la semaine prochaine. 

Alexique

C’est une IPP Oshine, arrête de te défausser. Et les IPP c’était au programme de lycée quand toi et moi on y était. Maintenant, oui, Abel est hors programme, so what ? C’est une formule, tu l’as redémontrée ci-dessus mais là n’est pas le problème. Il fallait choisir entre une fonction à dériver et une autre à primitiver et tu t’es planté, rien à voir avec le « hors programme trop difficile à maîtriser ». 

Maintenant, tu peux faire l’autruche et te trouver des excuses ou refaire le raisonnement en inversant $a_k$ et $b_k$ et sauver ton honneur (ou ce qu’il en reste). Mais je ne ferai pas l’exo à ta place. Le fait que tu sois encore en train de te défausser au lieu de faire des maths est juste insupportable. Tu dis « je veux faire Abel, j’y ai passé 30 minutes sans succès », je te dis quoi faire et tu bottes en touche donc non, je ne te donnerai pas la solution. 

lourrran

Cere, ton indice était peut-être mal choisi. J'aurais d'abord demandé : combien combien vaut $j^{k+3}$ ?

OShine : faire des paquets de 3, regarder la somme de 3 termes consécutifs ... tu n'y aurais pas pensé ??????  
Alors arrête de faire des exercices tout de suite, tu es en burn-out ou je ne sais quoi comme ça, et tu vois de moins en moins les idées pour chercher.
Plus tu fais des exercices, plus tu régresses.  Tu vas bientôt atteindre le niveau collégien.

Comme dit récemment, la 1ère étape , qui n'est jamais évoquée dans les corrigés, c'est de chercher à VOIR si cette suite converge ou diverge.

D'après toi, elle converge , ou elle diverge ?  

Et je te pose la question maintenant, mais dès ton premier message, tu aurais dû y répondre ...  Je dois étudier telle suite... pour telle raison, j'ai l'impression qu'elle converge/diverge ...  

OShine

@lourrran je ne sais pas deviner si elle va converger ou diverger.

@Alexique ok je vais le refaire en intervertissant les suites.

P.

et qu'est ce que ca fiche dans le forum Proba-Mesure ?

[Merci de l'avoir signalé. AD]

lourrran

Tu ne sais pas deviner si elle va converger ou diverger.
Ok.
C'est tout le problème. Et là, je ne sais pas du tout comment t'aider. Sauf à te redire une 100ème fois que tu devrais faire des exercices de lycée, mais tu refuses d'écouter ce conseil.

Du coup, si tu ne sais pas 'intuiter le résultat', tu ne peux pas avoir de plan de travail. 
Tu ne peux pas dire
- Je vais essayer de montrer qu'il y a 2 points d'adhérence (ça s'appelle comme ça, je ne sais plus ?)
ou bien
- je vais essayer de montrer qu'elle converge

Et maintenant, avec toutes les indications que tu as eues, tu as une idée ? Tu penses qu'elle converge ou qu'elle diverge, cette série ?

OShine

On sent qu'elle va converger car comme j au cube vaut 1 on va pouvoir factoriser par 1 j et j^2 et les termes dans les parenthèses seront des éléments d'une suite qui tend vers 0 la suite $1/n^{1/3}$.

lourrran

Je ne comprends pas ce que tu écris.
Mais ce que je vois, c'est que l'argument essentiel, c'est $j^3=1$ et qu'à partir de là, on voit qu'elle va converger.

Et ça : $j^3=1$, tu le sais depuis des années. Tu avais donc tous les éléments pour réfléchir, et "sentir" qu'elle va converger.  Mais tu n'as pas senti, tu n'as même pas cherché à sentir, tu as préféré demander la réponse.

math2

@ Pomme de Terre : excuse-moi, je ne comprends pas ton argument des paquets, as-tu un énoncé précis ?

Parce que pour moi, ça ne fonctionne que dans le cas positif (ou sommable) en gros  ; si je prends la série $\sum_n (-1)^n$ je la rends violemment convergente en faisant des paquets de deux.

Sinon moi bien entendu pour ce genre de situation, je pense naturellement à Abel.

Math Coss

Si les sommes partielles d'indices multiples de 3 ont une limite et si le terme général tend vers zéro...

math2

Ah bah oui d'accord, cet énoncé n'est pas dans ma mémoire, mais effectivement ...

OShine

@maths2 il faut étudier la sous-suite $(S_{3n})$ en la décomposant en 3 parties. On partitionne l'intervalle [|1,n|] en 3 sous-ensemble les éléments dont la reste de la division euclidienne par 3 vaut 0, 1 ou 2.

lourrran

Ah ? Il y aurait un problème subtil que personne n'a suggéré, et que tu serais le seul à avoir vu ? 

math2

@ OShine, je ne vois non plus pas la subtilité que tu essaies de me montrer, la preuve du résultat (que je ne connaissais pas, ou qui était sorti de ma mémoire) m'est apparu transparente sans même que j'y réfléchisse plus d'une minute. 

OShine

@maths2 ok désolé j'avais mal compris.
Je n'y arrive toujours pas avec la transformation d'Abel  Je n'ai pas compris l'intérêt de cette méthode ça ne simplifie rien.
Posons $b_k = k^{-1/3}$ et $a_k=j^k$. On pose $B_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k^{-1/3}$.
Alors $S_n = j+  \displaystyle\sum_{k=2}^n a_k b_k = j+  \displaystyle\sum_{k=2}^n (B_k -B_{k-1}) a_k  \\
= j +  \displaystyle\sum_{k=2}^n  B_k a_k -  \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} B_{k} a_{k+1} \\
= \boxed{ j + B_n a_n -B_1 a_2 +  \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} B_k (a_k -a_{k+1})}$
Donc $S_n= j +j^n  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^{-1/3} - j^2 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} B_k (j^k -j^{k+1} )$
On fait quoi de tout ça ?

JLapin

Mais, tu te rends compte que tu as refais la même chose que dans ta première tentative en échangeant juste les lettres $a$ et $b$ (et $A$ et $B$) ??

Alexique

Ben oui gros malin, tu as refais le même calcul exactement juste en changeant les noms des suites. Mais c'est toujours la même suite que tu primitives et la même que tu dérives. Si tu poses $B_n = \sum_{k=1}^n b_k$, c'est que tu choisis de primitiver $b_k=k^{-\frac13}$ ce que tu faisais déjà au-dessus. Si je vois apparaître du $a_k-a_{k+1}$, c'est que tu choisis de dériver $a_k=j^k$. C'est ce que tu faisais déjà au dessus. 

Alexique

Calculer $\int xe^x dx$.
Oshine : Posons $u'(x)=x$ et $v(x)=e^x$. Alors $u(x)=\frac{x^2}{2}$ et $v'(x)=e^x$ d'où par IPP, $\int xe^x dx =\int u'(x)v(x)dx= u(x)v(x)-\int u(x)v'(x)dx= \frac{x^2}{2}e^x- \int \frac{x^2}{2}e^x dx$. Ca ne marche pas, je ne comprends pas.
Bon je réessaye en faisant l'autre possibilité. Posons $v'(x)=x$ et $u(x)=e^x$. Alors $v(x)=\frac{x^2}{2}$ et $u'(x)=e^x$ d'où par IPP, $\int xe^x dx = \int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx = \frac{x^2}{2}e^x- \int \frac{x^2}{2}e^x dx$.

Tu vois une différence entre ces deux raisonnements ? Non ? Ben y'en a pas. Tu as juste changé les noms mais tu as fait la même chose.
Sérieux, Oshine...

raoul.S

Pour remarquer la convergence on peut utiliser le critère des séries alternées également (après une petite modif), c'est peut-être plus abordable.

OShine

Je n'avais jamais vu le lien avec les intégrales.
Ok je reprends. On pose $a_k =j^k$ et $b_k=k^{-1/3}$. Posons $A_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = j \dfrac{1-j^n}{1-j}$. 
Donc $\boxed{A_n = \dfrac{j - j^{n+1}}{1-j} }$
On a $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k b_k = j+ \displaystyle\sum_{k=2}^n (A_k -A_{k-1} ) b_k$
Donc $\boxed{S_n= j +  \dfrac{j - j^{n+1}}{1-j} n^{-1/3} - j  \times 2^{-1/3} +\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k^{-1/3} (j^k - j^{k-1} ) }$
On fait quoi avec une expression aussi compliquée ? Il y a une somme télescopique à droite mais le $k^{-1/3}$ gêne...

JLapin

On fait la transformation d'Abel...

OShine

Je ne sais pas calculer la limite de cette suite. 

Cyrano

J'ai l'impression de ne pas comprendre ce qui se passe dans ce fil.
Si je ne me trompe pas, le problème se règle en 20 secondes.
D'une part la suite $a_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$ est réelle, décroissante et tend vers $0$.
D'autre part la suite $b_n = j^n$ est à sommes partielles bornées.
Donc par le critère de Dirichlet, la série converge.

NB : Le critère de Dirichlet se démontre justement via Abel. J'ai l'impression qu'on fait redémontrer le théorème à OShine sur l'exemple. Je ne suis pas sûr que ce soit le plus profitable. Qu'il aille directement lire la démonstration de Dirichlet. 

math2

Oui Cyrano, le problème se règle en 20 secondes avec ce critère classique. Personnellement j'avais effectivement plutôt cité l'outil qui donne ce critère.

raoul.S

OShine, si tu es en train d'appliquer la transformation d'Abel trouvée ICI alors tu l'appliques mal  (il y a des coquilles). Si tu n'as pas un minimum de concentration vaut mieux faire une pause...

lourrran

Une pause de combien de mois, tu lui conseillerais ?

Alexique

Nan mais appliquer ABEL est un bon exo pour OS (qui généralise le critère spécial). Simplement, il transforme tout en usine à gaz. Il fallait juste remplacer dans son expression encadrée ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2362795/#Comment_2362795 $a_k$ par $j_k$ et $b_k$ par $k^{-\frac13}$ et regarder ce que ça donne. Mais depuis, il fait n'importe quoi. Bref, revois tes substitutions (parce que là, ce n'est même pas du calcul, juste remplacer ce qu'il faut comme il faut).

OShine

Le critère de Dirichlet est hors programme. Il faut se débrouiller autrement.
Le critère d'Abel est hors programme mais on peut l'utiliser si on le démontre.

llorteLEG

Tu prépares les concours e3a ? C'est quoi le hors programme quand on est autodidacte comme toi?

OShine

Je me limite au programme de MPSI MP qui est déjà ultra dense.

lourrran

Je ne connais ni Abel, ni Dirichlet. Je connais la définition d'une limite : $\forall \varepsilon  \exists n_0$ etc etc
Et je connais les séries alternées. Réelles, bien sûr.

Qu'est ce que je vais bien pouvoir faire, pour ne pas être ridicule et rendre une copie blanche.
La définition avec les $\varepsilon$, on a besoin de connaître la valeur de la limite pour appliquer cette méthode. Ici, on ne connaît pas la limite, et elle ne paraît pas simple à calculer.
On oublie cette piste.  Le fait de recenser les techniques à disposition et d'éliminer une par une les techniques qui ne vont pas aboutir, ça fait avancer le dossier.

Je peux analyser séparément la partie réelle et la partie imaginaire.  Comme je ne connais que les séries alternées, donc les séries à valeurs réelles, c'est la seule piste qui reste.

La partie imaginaire, c'est facile. C'est une série alternée...  avec des 0 en plus un terme sur 3. Les termes nuls, je les supprime purement et simplement, j'ai une nouvelle suite $(a_n)$ , c'est une suite alternée,  le terme général tend vers 0, et en valeur absolue, la suite est décroissante. On a tous les critères pour appliquer les résultats sur les séries alternées. Elle converge. Terminé. Au moins, je ne rends pas copie blanche.
Et on est entre adultes, les arguments que je viens de donner suffisent. Ce n'est pas pas une épreuve où on me juge sur mes compétences à écrire en Latex, c'est une épreuve de maths.

La partie réelle, c'est plus compliqué.
On va étudier une autre suite, qui ressemble un peu.
$w_n =$
$n^{-1/3}$ si $n$ est multiple de $3$
$-0.5 \times (  n^{-1/3} + (n+1)^{-1/3}  )$  si $n$ est de la forme $3k+1$
 $0$ si $n$ est de la forme $3k+2$

Comme pour la partie réelle, on peut supprimer tous les termes nuls, on a une série alternée ... une suite décroissante, qui tend vers 0. Elle converge.
Cette suite $w_n$, ce n'est pas la suite qu'on doit étudier.
Mais regardons maintenant $u_n-w_n$
Cette suite, pareil, c'est une suite avec un terme sur 3 qui est nul ... et les termes restants forment une suite alternée, décroissante en valeur absolue, qui tend vers 0. Donc la série somme de cette suite converge. 
$W_n$ converge
$U_n-W_n$ converge
Donc par addition $U_n$ converge.

Bon, c'est laborieux. Mais quand on connaît uniquement les bases, comme moi, on doit se contenter de résultats laborieux.

OShine

@lourrran je n'ai rien compris à ce que tu fais.
@raoul.S 
Oui c'est bien le site où j'ai trouvé la formule. Mais ici la somme commence à $1$ au lieu de $0$.
Je n'ai pas compris comment tu utilises le critère spécial des séries alternées.
On a $a_k = j^k$ et $b_k = k^{-1/3}$. Soit $A_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n j^k$
Donc $\displaystyle\sum_{k=1}^n  j^k k^{-1/3} = j - (1+j) 2^{-1/3} +n^{-1/3} \dfrac{1-j^{n+1}}{1-j} +\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \displaystyle\sum_{p=0}^{k} j^p (  k^{-1/3} - (k+1)^{-1/3} )$
Je ne comprends toujours pas où est l'erreur dans la formule.

raoul.S

Maintenant ça a l'air juste. Avant tu vais écrit $(j^k-j^{k-1})$ dans la dernière somme et c'était plutôt $k^{-1/3}-(k+1)^{-1/3}$. Bref en réécrivant ta dernière ligne on a : $\displaystyle\sum_{k=1}^n  j^k k^{-1/3} = j - (1+j) 2^{-1/3} +n^{-1/3} \dfrac{1-j^{n+1}}{1-j} +\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \displaystyle A_k (  k^{-1/3} - (k+1)^{-1/3} )$.

Maintenant tu n'as plus qu'à appliquer le théorème qui se trouve toujours dans le même lien et c'est fini...

PS. d'ailleurs tu n'avais pas besoin d'écrire cette ligne ignoble pour appliquer le théorème.

OShine

Ah d'accord merci c'est le critère d'Abel des séries.
$(b_n)=(n^{-1/3})$ tend vers $0$.
Montrons que $(A_n)$ est bornée. On a $|A_n|=| \displaystyle\sum_{k=0}^n j^k| = | \dfrac{ 1- j^{n+1}}{1-j} | $ 
 Et la je bloque pour montrer que $(A_n)$ est bornée. 
Montrons que la série $\sum | 1/k^{1/3} - 1/ (k+1)^{1/3}|$ converge.
On a $1/k^{1/3} - 1/ (k+1)^{1/3} = \dfrac{ (k+1)^{1/3}- k^{1/3} }{ (k (k+1))^{1/3}} =  \dfrac{ (1+1/k)^{1/3}- 1 }{ (k+1)^{1/3}}$. 
Ainsi $1/k^{1/3} - 1/ (k+1)^{1/3} =   \dfrac{ (1+1/k)^{1/3}- 1 }{ (k+1)^{1/3}}= \dfrac{ 1/ 3k + o(1/k)}{ (k+1)^{1/3}} \sim \dfrac{1}{ 3 k^{4/3}} $
La série converge par comparaison à une série de Riemann à termes positifs car $4/3 >1$.

JLapin

Écris donc les 10 premiers termes de la suite $(A_n)$.