Histoire/origine de la fonction $\Gamma$ ?
J'aurais préféré mettre ça en Analyse, ça aurait eu plus de lecteurs j'imagine, mais ça a peut-être plus légitimement sa place ici.
Je préviens : je radote un peu.
Je me suis demandé d'où est venu
l'idée de poser $\Gamma(z)=\displaystyle
\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ pour avoir une fonction qui "généralise
la factorielle aux nombres non-entiers", donc, une fonction définie en
dehors de $\N$ qui se comporte comme la factorielle sur $\N$.
C'est vrai, quoi. À quel moment c'est "normal" de voir la factorielle et de se dire "tiens, $z \mapsto \displaystyle \int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ va être une bonne extension de ça" ? Pour moi, ça ne me saute clairement pas aux yeux. Bon, effectivement, si on a réussi à penser à cette intégrale, on peut trouver la relation $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$, mais ce n'est pas exactement ce qui m'intéresse ici. Ce qui m'intéresse, c'est le cheminement pour la trouver.
Je suis donc un mathématicien du 17e, 18e, 19e siècle qui connait la factorielle. Je pose $u_n=n!$ et je suis à la recherche d'une fonction, $f: \R \rightarrow \R$ ou $f : \C \rightarrow \C$, telle que $f(n)$ est égal à $u_n$ (ou $u_{n+1}$ ou $u_{n-1}$, on n'est pas à l'indice près). Points bonus si $f$ est continue/régulière/holomorphe/etc.
J'ai trouvé sur Wikipédia la formule $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \bigg(n+1 + \dfrac{x}{2}\bigg)^{x-1} \prod_{k=1}^n \bigg( \dfrac{k+1}{k+x} \bigg) =x!$, attribuée à Euler. Je me réserve la notation $x!$ quand $x$ est en fait un entier $N$, comme la quasi-totalité d'entre nous, j'imagine, mais quoi qu'il en soit, $f_n(x) :=\bigg(n+1 + \dfrac{x}{2}\bigg)^{x-1} \displaystyle \prod_{k=1}^n \bigg( \dfrac{k+1}{k+x} \bigg)$ serait une suite de fonctions qui converge, a priori au moins pour $x$ entier, vers $x!$. Cool, là au moins je suis face à un procédé que je connais. Si la convergence est suffisamment régulière, on a une bonne fonction limite, elle aussi régulière. Je m'approche de l'idée.
J'ai quand même déjà un souci avec cette formule, parce qu'en fait, si je regarde ce qu'il se passe pour $x=N$ entier, $\displaystyle\prod_{k=1}^n \bigg( \dfrac{k+1}{k+N}\bigg)=\dfrac{2\times ... \times (n+1)}{(N+1)\times ... (N+n)}=\dfrac{(n+1)!N!}{(N+n)!}$ $\displaystyle = N! \times \dfrac{1}{(n+2) \times ... (n+N)}$ et donc en fait, ce produit est $\sim \dfrac{N!}{n^{N-1}}$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} (n+\alpha)^{N-1} \prod_{k=1}^n \bigg( \dfrac{k+1}{k+N} \bigg) =N!$ quel que soit $\alpha$ (par exemple, $0$), donc d'où sort le $1+ \dfrac{x}{2}$ ? Pour avoir une suite, avec un paramètre $N$ entier, qui converge vers $N!$, ce n'est clairement pas nécessaire de "choisir $\alpha$". Je pressens que le choix $\alpha = 1+\dfrac{x}{2}$ va être nécessaire pour avoir les propriétés qu'on veut, mais je n'ai pas encore atteint ce stade-là.
La question demeure : d'où est sortie cette suite $\displaystyle\bigg(n+1 + \dfrac{x}{2}\bigg)^{x-1} \prod_{k=1}^n \bigg( \dfrac{k+1}{k+x} \bigg) $ ? Je ne veux pas remettre le génie d'Euler en question, mais sait-on d'où lui est venu l'idée de ce truc-là ?
C'est vrai, quoi. À quel moment c'est "normal" de voir la factorielle et de se dire "tiens, $z \mapsto \displaystyle \int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ va être une bonne extension de ça" ? Pour moi, ça ne me saute clairement pas aux yeux. Bon, effectivement, si on a réussi à penser à cette intégrale, on peut trouver la relation $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$, mais ce n'est pas exactement ce qui m'intéresse ici. Ce qui m'intéresse, c'est le cheminement pour la trouver.
Je suis donc un mathématicien du 17e, 18e, 19e siècle qui connait la factorielle. Je pose $u_n=n!$ et je suis à la recherche d'une fonction, $f: \R \rightarrow \R$ ou $f : \C \rightarrow \C$, telle que $f(n)$ est égal à $u_n$ (ou $u_{n+1}$ ou $u_{n-1}$, on n'est pas à l'indice près). Points bonus si $f$ est continue/régulière/holomorphe/etc.
J'ai trouvé sur Wikipédia la formule $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \bigg(n+1 + \dfrac{x}{2}\bigg)^{x-1} \prod_{k=1}^n \bigg( \dfrac{k+1}{k+x} \bigg) =x!$, attribuée à Euler. Je me réserve la notation $x!$ quand $x$ est en fait un entier $N$, comme la quasi-totalité d'entre nous, j'imagine, mais quoi qu'il en soit, $f_n(x) :=\bigg(n+1 + \dfrac{x}{2}\bigg)^{x-1} \displaystyle \prod_{k=1}^n \bigg( \dfrac{k+1}{k+x} \bigg)$ serait une suite de fonctions qui converge, a priori au moins pour $x$ entier, vers $x!$. Cool, là au moins je suis face à un procédé que je connais. Si la convergence est suffisamment régulière, on a une bonne fonction limite, elle aussi régulière. Je m'approche de l'idée.
J'ai quand même déjà un souci avec cette formule, parce qu'en fait, si je regarde ce qu'il se passe pour $x=N$ entier, $\displaystyle\prod_{k=1}^n \bigg( \dfrac{k+1}{k+N}\bigg)=\dfrac{2\times ... \times (n+1)}{(N+1)\times ... (N+n)}=\dfrac{(n+1)!N!}{(N+n)!}$ $\displaystyle = N! \times \dfrac{1}{(n+2) \times ... (n+N)}$ et donc en fait, ce produit est $\sim \dfrac{N!}{n^{N-1}}$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} (n+\alpha)^{N-1} \prod_{k=1}^n \bigg( \dfrac{k+1}{k+N} \bigg) =N!$ quel que soit $\alpha$ (par exemple, $0$), donc d'où sort le $1+ \dfrac{x}{2}$ ? Pour avoir une suite, avec un paramètre $N$ entier, qui converge vers $N!$, ce n'est clairement pas nécessaire de "choisir $\alpha$". Je pressens que le choix $\alpha = 1+\dfrac{x}{2}$ va être nécessaire pour avoir les propriétés qu'on veut, mais je n'ai pas encore atteint ce stade-là.
La question demeure : d'où est sortie cette suite $\displaystyle\bigg(n+1 + \dfrac{x}{2}\bigg)^{x-1} \prod_{k=1}^n \bigg( \dfrac{k+1}{k+x} \bigg) $ ? Je ne veux pas remettre le génie d'Euler en question, mais sait-on d'où lui est venu l'idée de ce truc-là ?
Réponses
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Il y a des gens brillants, c’est comme ça. Euler pensaient aux changements de variables $z = y^{\frac{n-1}{n}}$ dans des équa diffs. Il a “deviné” le produit eulérien du sinus et la valeur de la somme des inverses.Euler avait 200 de QI. La différence entre moi (110, mathématicien lambda) et Einstein est “d’à peine” 35 points de QI. La distance entre Einstein et Euler elle la même qu’entre Einstein et un crétin fini.C’est génétique. On n’y peut rien. En plus il y a eu 20 enfants. Très bon pour le génome des hommes ça.---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
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Bonjour,
Je signale que Leonhard Euler (1707 - 1783) a vécu avant l'invention du QI (William Stern, Alfred Binet, Théodore Simon en 1905), et il a eu 13 enfants, et non 20, dont seulement 5 sont devenus adultes.
Cordialement,
Rescassol
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Positif a dit :Euler avait 200 de QI.Ce concept n'existait même pas quand Euler est mort. On a fait passer un test de QI à ses mannes ?Ce qui a été publié par Euler doit pouvoir se trouver en ligne (il y avait un site dédié à sa production mathématique à une époque). On peut peut-être retrouver dans un ou plusieurs articles les pistes suivies par Euler. Il y a une part de chance dans la découverte mathématique : on emprunte le bon sentier et on arrive à la cité d'or en cheminant, ou à coups de serpe parce que le chemin est obstrué par une végétation épaisse qu'il s'agit d'éclaircir pour pouvoir avancer.
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Je suis d'accord ! Évidemment qu'il y a une part de chance, mais quand même, même chez un génie il faut qu'il y ait un cheminement de $x!$ jusqu'à $\displaystyle \bigg( n+1+\dfrac{x}{2}\bigg)^{x-1} \prod_{k=1}^n \bigg( \dfrac{1+k}{x+k}\bigg)$. Et je pense que l'analyse du cheminement de pensée va faire paraître cette idée comme beaucoup plus naturelle, sans la rendre moins géniale pour autant.Je ne suis pas très doué pour savoir où/comment chercher ce genre de documentation, si quelqu'un peut m'aider à chercher, j'en serai ravi.
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En ce qui concerne gamma et Euler on en avait déjà parlé ICI.
Peut-être qu'un jour en faisant d'autres calculs il s'est aperçu que $\int_0^{\infty}x^n e^{-x}dx=n!$ vu que c'est relativement élémentaire à montrer.
D'où l'idée de remplacer $n$ par un réel, voire un complexe pour obtenir une fonction holomorphe en plus (sur le demi-plan qu'il faut). -
Merci ! Visiblement cette partie de l'ancien fil avait échappé à ma mémoire, tant mieux si on peut faire le lien (super jeu de mots, je sais).
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Faisons du reverse-engineering un peu: deux fonctions analytiques sur un ouvert de $\mathbb C$ et qui coïncident en une infinité de points sont égales. On ne savait peut-être pas ça à l'époque (j'avoue que je ne sais pas...) mais c'était déjà vrai :-D en particulier si tu trouves quelque chose, c'est forcé d'être ça.
Ok maintenant ta question c'est "bon, c'était forcé, mais comment on l'a trouvé ?". Bon, à nouveau c'est du reverse-engineering, et c'est pas du tout pour dire que n'importe qui penserait à ça (ni même que c'est ce qui s'est passé), mais on peut imaginer un cheminement du genre "$u_{n+1} = (n+1)u_n$ ça me rappelle beaucoup le fait que la dérivée de $x\mapsto x^{n+1}$ est $(n+1)x^n$". La relation entre "$u_n$" et "$x^n$" est un peu vaseuse mais pas complètement (cf. calcul ombral - c'est typiquement le genre de manipulation non justifiées qu'on pouvait se permettre).
Donc si tu recherches une expression fonctionnelle, tu vas vouloir mettre du $x^n$ (à l'avenir, $x^z$ bien sûr). Maintenant tu cherches une égalité, et pas une dérivée. Bon bah un truc où tu peux avoir "machin $f$ = bidule $f'$" c'est typiquement les intégrales (cf. IPP) donc tu vas avoir une intégrale avec $x^n$.
Si tu es optimiste, tu mets $\int_0^\infty x^n f(x) dx$ (déjà ça suggère un $f$ qui décroît très vite mais passons) et à partir de là tu vas te rendre compte que $f = - f'$ fait marcher l'affaire et tu as gagné. Je dis "si tu es optimiste" mais il y avait plein de formules du genre qui traînaient à l'époque donc c'est plus ultra perché de tester ça si tu as beaucoup de temps à perdre.
En effet, par IPP $\int_0^\infty (n+1) x^n f(x) dx = [x^{n+1} f(x) dx]^\infty_0 - \int_0^\infty x^{n+1} f'(x) dx$. Le premier terme vaut $0$ en $0$, et pour que l'intégrale ait un sens tu vas aussi mettre $0$ en $+\infty$, et donc tu obtiens $-\int_0^\infty x^{n+1} f'(x) dx$.
Pour que ça vaille ce que tu veux, i.e. $\int_0^\infty x^{n+1} f(x) dx$, le truc naïf de faire $f=-f'$ te donne directement $e^{-x}$. Tu observes que les trucs que j'ai dit au-dessus ($0$ en $\infty$, l'intégrale a un sens)) marchent, donc $\int_0^\infty x^n e^{-x} dx$ semble pas mal.
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Bonjour,Lien trouvé via la rubrique Wikipedia sur la fonction Gamma.
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@Maxtimax je ne connaissais pas le calcul ombral, tiens. On dirait que c'est à mi-chemin entre l'analyse non standard où on lit des bêtises et un raisonnement par analyse-synthèse où on autorise les bêtises si elles donnent des résultats
@Lars j'ai perdu l'habitude de vérifier les liens dans les références Wikipédia, tellement c'est courant qu'il faut chercher longtemps à partir du lien pour trouver effectivement l'information... ça me fera de la lecture, merci. -
Je crois avoir lu quelque part que la formule pour généraliser $n!$ à $n$ non entier était liée à une méthode d'interpolation.
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A propos du message de Maxtimax un peu plus haut. Que faire si on n'a pas autant d'intuition ?Je pense que dans le cadre du "calcul ombral", on interpréterait la suite $(u_n)$ telle que $u_0=1$, $u_{n+1}=(n+1)u_n$ comme $u_n=\varphi(X^n)$, où $\varphi$ est une forme linéaire sur $\R[X]$. Alors les conditions de récurrence donnent:$$\varphi(1) = 1, \qquad \mathrm{et\; sur} \ker ev_0: \; \varphi\circ D=\varphi$$ ($D$: dérivation, $ev_0$ évaluation en $0$, càd: si $P(0)=0$, alors $\varphi(P')=\varphi(P)$). Si on cherche $\varphi$ sous la forme $\varphi(P)=\int_a^bP(x)f(x)dx$, avec $a,b,f$ à trouver, on obtient les condtions (après IPP):$$\begin{eqnarray*} \mathrm{Pour}\; P=1 &:& \int_a^bf(x)dx = 1\\ \mathrm{Pour}\; P(0)=0 &:& \int_a^b P(x)(f(x)+f'(x))dx = [P(x)f(x)]_a^b \end{eqnarray*}$$ On constate que ces conditions sont remplies si $f+f'=0$, $a=0$, $b=+\infty$. Mais si on n'arrive pas à le voir, peut-on le trouver mécaniquement ?Après je bloque.
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Ou plutôt, comment savoir que c'est la seule possibilité?
Après je bloque. -
Bonjour
la découverte par Euler des propriétés de la fonction Gamma (baptisée ainsi plus tard par Legendre) n'est pas fortuite comme toujours chez le chercheur suisse son intuition (esprit de conjecture) précédait un travail énorme où l'empirisme avait sa place en l'occurrence ici la recherche d'une fonction de variable réelle qui réaliserait l'interpolation de la suite de terme général $u_n$ définie par l'équation récurrente $u_{n+1} = (n+1).u_n$ avec $u_0 = 1$.
Depuis Newton les équations aux différences finies (ou équations récurrentes) étaient aussi familières chez les chercheurs du 18ème siècle que les équations différentielles et la suite factorielle $u_n = n!$ était l'objet de recherches intenses dans toute l'Europe savante (Moivre, Wallis, Stirling et les frères Bernoulli) de Londres à Saint Pétesbourg en passant par Paris, Bâle et Postdam animées par des mathématiciens qui correspondaient le plus souvent en langue française.
Euler qui était de langue maternelle germanique, a peu séjourné en France mais il maîtrisait très bien notre langue aussi bien à l'oral qu'à l'écrit et il faisait partie de cette cohorte prestigieuse dont le centre était sans doute Paris (d'Alembert, Cassini) l'Académie des sciences créée par Colbert (et qui a précédé l'Académie de Lyon fondée en 1700) y jouait son rôle d'animation scientifique.
À propos de la fonction Gamma des hommes comme Lagrange, Laplace, Legendre, Gauss et Riemann ont plus tard contribué fortement à la mise au point de ses propriétés.
Cordialement. -
deux fonctions analytiques sur un ouvert de $\C$ et qui coïncident en une infinité de points sont égales
@Maxtimax : Petite coquille ici, c'est faux s'il n'y a pas de point d'accumulation. Par exemple Les fonctions $\Gamma$ et $\Gamma + \sin(\pi \, \cdot)$ coïncident sur $\N^*$ et ne sont pas égales pour autant. C'est d'ailleurs pour ça qu'on trouve des conditions supplémentaires dans le théorème de Bohr-Mollerup.
Aucune idée d'où est venue l'idée à Euler mais personnellement je ne trouve pas ça si surprenant qu'il soit arrivé à cette formule. Intégrer des fonctions du type $x^\alpha f(x)$ ou $P(x) e^{\pm x}$ est assez fréquent. Si on en fait suffisamment et qu'on s'appelle Euler je ne doute pas qu'on finisse par trouver la formule intégrale pour $\Gamma$. Évidemment il ne s'agit que de mon petit doigt mouillé. -
Sujet déjà traité ici: https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/post/quote/1512514/Discussion_1512514PLutôt que de lire les mêmes élucubrations qu'ici qui entourent les parties intéressantes, autant allez directement aux sources fiables :
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@Joaopa: Merci, j'avais complètement oublié cet article. Je pense qu'il répond complètement à la question initialement posée.
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J'ai reçu de la lecture... ça tombe bien, j'ai un train à prendre aujourd'hui.
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BonjourMoi je ne trouve pas ces élucubrations dénuées d'intérêt. J'aime bien en particulier le "calcul" de Maxtimax. Mais aussi les autres interventions.Et il y a bien un théorème du xx eme siècle (Carlson? Selberg?) si f est analytique à croissance contrôlée sur le domaine re(z)>0 (bornée sur ce domaine par ex suffit) et s'annule sur les entiers alors f est identiquement nulle.De mémoire, la condition de croissance est telle que le contre-exemple donné par Renart est en fait un cas limite (À verifier : f=O(exp(a|z|)) sur re(z)>0 avec a<pi).
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Renart : merci pour la correction - j'ai oublié une grosse partie de l'analyse complexe, et ce résultat était le seul que je croyais connaître :-D
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Le sujet a également été abordé ici (2017) : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/1512556
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BonjourÇa aurait été mieux que je publie dans mon message précédent mais l'écran saute en permanence.Donc désolé ce message n'apporte rien de plus au fil.
Le théorème que j'évoquais (rien à voir avec le fil donc) est le théorème de Carlson avec la condition $f(z)=O(e^{a|z|}),\ re(z)>0$ avec $a\lt\pi$. Ce théorème servirait par ex. pour une preuve d'une égalité fonctionnelle (d'ailleurs en lien avec Gamma) en théorie analytique des nombres (théorème dit de Lipschitz).Dans le cas particulier $f(z)=O(1)$ sur $re(z) >0$, une preuve élémentaire (ie en quelques lignes) a été donnée par Selberg en 1944. -
Voici quelques pistes heuristiques qui conduisent au prolongement de la factorielle par la fonction $\Gamma$. L'idée est de partir d'une série génératrice impliquant la suite des factorielles, par exemple
$$ e^t = \sum_{n\ge 0} \frac{t^n}{n!} $$ Cette série génératrice a de très bonnes propriétés (normal, c'est l'exponentielle) et la formule de Cauchy donne
$$ \frac{1}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{e^t}{t^n} \frac{\mathrm dt}{t} \tag{1} $$ L'intégrale étant prise sur un petit cercle positivement orienté centré en $t=0$.
Avant de remplacer $n$ par une variable complexe $z$, on referme le contour à l'infini au moyen d'un contour de Hankel comme celui-là :
On aurait tout à fait pu prendre un autre chemin, tant que ça assure la convergence (absolue) de l'intégrale dans $(1)$. Cette idée n'est pas de moi, il semblerait que l'on puisse attribuer ce principe à Riemann (principe qu'il aurait partagé à Hankel, son élève...).
On définit ensuite une fonction entière de la variable $z$ par :
$$ \frac{1}{z!} = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{e^t}{t^z} \frac{\mathrm dt}{t} \tag{2}$$ où cette fois on intègre le prolongement analytique de la fonction $t \in \mathbb R_+^* \longmapsto \frac{e^t}{t^z} \frac{1}{t}$ le long du contour de Hankel (ce qui fait que la fonction intégrée sur la demi-droite change suivant si on arrive de $-\infty$ ou si on repart en $-\infty$).
Le théorème de Cauchy justifie par ailleurs que l'intégrale sur le contour de Hankel ne dépend pas du rayon du petit cercle autour de $t=0$. Ainsi, si on fait l'hypothèse que $\operatorname{Re} z < 0$ on obtient en passant à la limite quand le rayon tend vers zéro :
$$ \frac{1}{z!} = \frac{\sin \pi z}{\pi} \int_0^\infty t^{-z -1} e^{-t}\,\mathrm dt$$ On retrouve la fameuse intégrale qui sert à définir la fonction $\Gamma$... de là on peut établir l'équation fonctionnelle
$$ \frac{1}{z!} \frac{1}{(-z)!} = \frac{\sin \pi z}{\pi z} $$ et on retrouve pour $\operatorname{Re} z > -1$ la formule « eulérienne »
$$ z! = \int_0^\infty t^z e^{-t}\,\mathrm dt $$
Bon, ce n'est certainement pas de cette manière qu'Euler aurait abordé le problème du prolongement de la factorielle. Cette technique analytique est bien trop moderne. Mais je vois bien Riemann adopter cette approche (c'est plutôt son style). -
J'ai envie de regarder toutes les différentes approches, ça me prendra du temps mais ça me fera revoir l'analyse complexe en détail, ça me fera du bien.
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Je lisais donc le PDF (Davis) laissé par @Joaopa. Davis raconte la chose suivante : Euler "remarqua" que $\displaystyle \prod_{k=1}^{+\infty} \bigg( \dfrac{k+1}{k} \bigg)^n \dfrac{k}{n+k} = n!$ et que ce produit infini est encore défini si l'on remplace $n$ par certains non-entiers, par exemple $1/2$.Du coup, ça (me) donne envie de définir une fonction (sur $\R$ pour l'instant) $f(x)= \displaystyle \prod_{k=1}^{+\infty} \bigg( \dfrac{k+1}{k} \bigg)^x \dfrac{k}{x+k}$, en espérant que ce soit défini.Ce n'est pas la définition de $\Gamma$ : son écriture comme produit infini est $\displaystyle \dfrac{1}{x}\prod_{k=1}^{+\infty} \dfrac{(1+1/k)^x}{1+x/k}$.
À part des jeux d'écriture, il n'y a qu'une chose qui change, le $\dfrac{1}{x}$ devant le produit. J'ai l'impression qu'il ne sert "que" à donner des formules plus jolies. Ai-je raison, ou bien sert-il à autre chose (non-définition de quelque chose... je ne sais pas). -
Si cette formule sert à définir la factorielle de $x$, tu as la relation $\Gamma(x)=\frac{x!}{x}$. Voilà d'où sort ce $\frac{1}{x}$
Après pourquoi préférer la fonction gamma à la factorielle ? Sûrement parce que pour $x>0$ on a la formule $\Gamma(x) = \int_0^\infty t^x e^{-t}\,\frac{\mathrm dt}{t}$ avec $\frac{\mathrm dt}{t}$ la mesure de Haar sur le groupe multiplicatif $\mathbb R_+^*$. C'est beaucoup plus symétrique en un certain sens. Mais historiquement, je ne sais pas... -
Justement, c'est sur le point de vue historique que je trouve intéressant de se poser la question. "In hindsight" on peut trouver plein de raisons pourquoi la fonction avec le $\dfrac{1}{x}$ est "plus riche" de résultats, mais en 1729, c'est autre chose. Peut-être vaut-il mieux que je continue à lire et que je vois si l'auteur montre comment Euler a fait le lien entre "un produit infini lié à la factorielle" et "une intégrale liée à la factorielle". On verra ! Entre temps si quelqu'un d'autre trouve quelque chose d'intéressant à dire, je suis tout ouïe.
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J'essaierai de la regarder si j'ai le temps, merci !
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