Matrices élémentaires
Bonjour
Auriez-vous d'autres observations utiles ou à avoir vu sur ces matrices à part les suivantes :
1) $E_{k,l}=(\delta_{i,k}\delta_{j,k})_{i,j}$.
2) Toute matrice $A=\sum\limits_{i,j}a_{i,j}E_{i,j}$.
3) $(E_{k,l})_{k,l}$ est une base de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$.
4) $E_{k,l}E_{r,s}=\delta_{l,r}E_{k,s}$.
Auriez-vous d'autres observations utiles ou à avoir vu sur ces matrices à part les suivantes :
1) $E_{k,l}=(\delta_{i,k}\delta_{j,k})_{i,j}$.
2) Toute matrice $A=\sum\limits_{i,j}a_{i,j}E_{i,j}$.
3) $(E_{k,l})_{k,l}$ est une base de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$.
4) $E_{k,l}E_{r,s}=\delta_{l,r}E_{k,s}$.
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Réponses
Si $M\in\mathcal{M}_n(\Bbb K)$, alors $ME_{i,j}$ contient la $i$-ième colonne de $M$ dans sa $j$-ième colonne, et les autres colonnes de $ME_{i,j}$ sont nulles. C'est similaire pour $E_{i,j}M$ avec les lignes. Ça peut être utile par exemple pour montrer que les homothéties sont les seules matrices carrées qui commutent avec toutes les autres matrices carrées de la même taille.
@Maxtimax peux-tu développer ta remarque "lequel correspond auquel, c'est quelque chose qu'on découvre autant de fois qu'on se souvient de ce que veut dire "ligne" ou "colonne"" ?
La transposée du produit est le produit des transposées mais dans quel ordre ?
La matrice de passage, c'est $\mathrm{Mat}_{b',b}(\mathrm {id})$ ou $ \mathrm{Mat}_{b,b'}(\mathrm {id})$ ? Quand on compose deux applications linéaires, c'est $\mathrm{Mat}_{b',b''}\mathrm{Mat}_{b,b'}$ ou $\mathrm{Mat}_{b,b'}\mathrm{Mat}_{b',b''}$ ou autre chose ? Et la formule de changement de base, c'est $X=PX'$ ou $X'=PX$ ? Et pour les applications linéaires, c'est $QAP^{-1}$ ou $Q^{-1}AP$ ? $PDP^{-1}$ ou $P^{-1}DP$ ?
Quand on multiplie une matrice par une matrice inversible à gauche (resp. à droite), on préserve l'image ou le noyau ?r
La forme hermitienne, elle est semi-linéaire par rapport à quelle variable ? Il y a un signe dans la formule du coefficient de Fourier complexe ? et dans celle du coefficient réel ? C'est $1/(2\pi)$ ou $1/\pi$ ?