$A,B$ deux matrices de $M(n,C)$ telles que $A^2+t^2B^2=u(AB-BA)$ où $t \in \R^{*}$, $u \in \R$. On suppose $\dfrac{u^2 - t^2}{u^2+t^2} = \cos(\pi \theta)$ avec $\theta$ est irrationnelle. Montrer que $(AB-BA)^n=0$.
Je vais m'y atteler ; une première idée serait de montrer que si $\lambda$ est une valeur propre du crochet, alors il existe un scalaire $\alpha$ non nul et d'ordre infini dans $\C^*$ tel que $\alpha\lambda$ en soit également valeur propre. Donc, si cela s'avère, $\lambda$ ne peut qu'être nul.
J'ai juste trouvé que \begin{align*} (A - itB)(A + itB) &= (u + it)[A, B] \\ (A + itB)(A - itB) &= (u - it)[A, B]\end{align*} On voit apparaitre ce qui pourrait devenir le "futur" $u^2 + t^2$ mais je vois pas comment je peux aller plus loin.
Les deux égalités du Sieur Positif doivent amener la conclusion : avec $A'=A-itB$ et $A''=A+itB$, on voit que $A'A''$ et $A''A'$ sont proportionnelles avec un coefficient de proportionnalité d'ordre infini. Ayant en outre même polynôme caractéristique, elles sont nilpotentes ainsi que le crochet $AB-BA$ qui leur est aussi proportionnel.
Une égalité polynomiale $P(\alpha X)=\alpha^nP(X)$ entraîne ici que $P$ est un monôme.
Réponses
\begin{align*} (A - itB)(A + itB) &= (u + it)[A, B] \\ (A + itB)(A - itB) &= (u - it)[A, B]\end{align*} On voit apparaitre ce qui pourrait devenir le "futur" $u^2 + t^2$ mais je vois pas comment je peux aller plus loin.
Est-ce qu’on s’en servir ici ?
Une égalité polynomiale $P(\alpha X)=\alpha^nP(X)$ entraîne ici que $P$ est un monôme.