Sujet HEC 2020

rebellin

Bonjour,

Je m'amuse depuis quelques temps à faire les sujets de concours de grande écoles, d'agreg interne, etc.

J'attire l'attention de tous ceux qui voudraient s'entraîner en probabilités sur la partie III du sujet d'HEC ECS 2020 (divergence de Kullback). C'est assez joli et ça me semble très formateur.

PS. Il y a besoin uniquement du résultat de la question 7.b pour traiter cette partie III. Je précise que je n'ai pas besoin d'aide, j'y suis arrivé tout seul (laborieusement) comme un grand !

édit : merci Chaurien, on en apprend tous les jours

Chaurien

Tu t'amuses depuis quelque temps, il n'y a qu'un Temps.

Chaurien

Merci pour cet énoncé. Depuis de nombreuses années, les énoncés de HEC traitent des sujets très intéressants avec les moyens limités du programme de cette filière.

OShine

Cet exercice figure dans mon livre de MPSI. Il est noté très difficile.

M.Floquet

Je me souviens d'un sujet de l'ESSEC (2017) qui traitait du théorème de Birkhoff/Von-Neumann sur les points extrémaux des matrices bi-stochastiques ! C'était vraiment une excellente idée, ça partait d'assez bas pour arriver à un super résultat de manière très progressive !

Pomme de terre

@rebellin Merci, je viens de le faire aussi. Ce n'est pas inintéressant mais tout de même assez technique et je crois qu'il y a une petite erreur dans l'énoncé.

À moins que j'ai raté quelque chose, le fait que $Q$ et $Q^*$ soient distinctes ne suffit pas à garantir que $0 < Q^*([X \in B]) < 1$ et $0 < Q([X \in B]) < 1$. Il suffit de considérer une variable aléatoire constante $X : n \mapsto 0$ pour avoir un contre-exemple. La bonne hypothèse serait plutôt que les lois de $X$ pour $Q$ et pour $Q^*$ soient distinctes.

@OShine : ça parle du même objet mathématique mais ce n'est pas du tout le même exercice.

julian

Divergence de Kullback... Ceci me rappelle les cours d'Alain mon fort...

[Solomon Kullback (1907-1994) prend toujours une majuscule. AD]

math2

Monfort en un seul mot (mais tu as peut-être fait exprès ?)

P.

Une variable aleatoire $X$, c'est une fonction reelle sur un espace de probabilite $(\Omega, \frak{A},$$ P) .$ Une  fonction mesurable sur $(\Omega, \frak{A}) $ , eh bien  c'est une fonction mesurable. Je trouve maladroit dans un sujet de concours  de consider une va aleatoire $X$ avec deux probabilites $Q$ ou $Q^*$.  La divergence de Kullback est d'ailleurs une fonction du couple $(Q,Q^*)$ et la notation $d(X)$ est douteuse, voire egarante, voire execrable.