Homéomorphisme

Diameyy

Bonjour
Je galère un peu sur un exercice.

Soit (E,N) un espace vectoriel normé, S = {x ∈ E | N(x) = 1}. On munit E\{0} et S de la topologie induite par E. 
Il s'agit de montrer que l'application (λ,x) -> λ.x est un homéomorphisme de R*+ × S sur E\{0}.

J'arrive à montrer assez facilement que l'application est bijective. Pour ce qui est de la continuité de la fonction réciproque, j'ai un début de quelque chose. On a en effet que si u_n  = λ_n*x_n converge vers u = λ*x, x_n converge bien vers x dans S car S est fermé par contre je vois mal comment montrer que λ_n converge vers λ. Et pour la continuité de la fonction je vois mal comment m'y prendre également. 
En vous remerciant.

Maxtimax

1) L'application est continue en tant que restriction d'application continue (laquelle ? )

2) La réciproque est continue car tu peux l'écrire explicitement : $x\mapsto (N(x), \frac{x}{N(x)})$

Positif

La fonction récipoque on la connait non ? C'est  $ x \mapsto \left( ||x|| , \frac{x}{||x||} \right) $ .

Edit : j'ai pas F5 la page et donc j'ai répondu en retard.

Diameyy

Maxtimax https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2362179/#Comment_2362179

1) Je suppose qu'il s'agit de la même application sur R*+ x E\{0} mais encore une fois comment puis-je démontrer que cette même application est continue ? je sais montrer que f : x -> λ*x est continue mais montrer que f : (λ, x) -> λ*x ça me bloque un peu (je me prends la tête pour rien peut-être ?)

2) Effectivement mais même si on peut l'écrire explicitement il faut prouver la continuité non ? En l'occurrence ça vient de la continuité de la norme et du fait que S est fermé c'est bien ça ? (je suis pas très fort en topologie désolé !)

[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

JLT

Saurais-tu démontrer, rien qu'en utilisant la définition de la continuité avec des $\epsilon$, que l'application $f:\R^2\to \R$ définie par $f(x,y)=xy$ est continue ?

Diameyy

JLT

Si on pose η =  ($(\frac{x{0}y{0} - \varepsilon }{y})$,$(\frac{x{0}y{0} - \varepsilon }{x})$) on bien que $  \forall \varepsilon \in \mathbf{R}^{*}_{+}\quad \exists \eta \in \mathbf{R}^{*}_{+} \quad |(x,y)-(x{0},y{0})| < \eta \implies| f((x,y)) - f((x{0},y{0}) | < \varepsilon $ c'est quelque chose comme ça ? (ce que j'ai écrit marche pas si x ou y s'annule)

Mais je vois pas comment on pourrait le prouver autrement sinon.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

JLT

Le $\eta$ doit être un nombre strictement positif qui dépend de $x_0$ et de $y_0$ mais pas de $x$ et $y$.

Positif

Quand je suis confronté à des problèmes comme ça, je préfère exprimer $x$ et $y$ comme $x_0 + h, y_0 + v$ . Je trouve ça plus facile de manipuler $f(x, y) - f(x + h, y + v)$ (en sachant que $x$ et $y$ sont maintenant des constantes). C’est juste un changement de notation mais je le trouve bien plus commode. Comme ça, si $f$ n’est pas polynomiale, un DL nous ramène à des polynômes en $(h, v)$.

troisqua

@Diameyy : si j'écris que $$N\left(ax-a_{0}x_{0}\right)=N\left(ax-ax_{0}+ax_{0}-a_{0}x_{0}\right)$$ arrives-tu à poursuivre en utilisant l'inégalité triangulaire ?