Théorème central limite
Bonsoir
Je cherche à déterminer la limite de an,p (lorsque n tend vers plus l'infini) et de l'exprimer en fonction de p et de Z où cette dernière suit une loi normale centrée réduite. J'ai déterminé une majoration de an,p grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, j'ai trouvé an,p≤ p(1-p) , mais je ne sais pas si cette inégalité sera utile pour déterminer la limite.
Je cherche à déterminer la limite de an,p (lorsque n tend vers plus l'infini) et de l'exprimer en fonction de p et de Z où cette dernière suit une loi normale centrée réduite. J'ai déterminé une majoration de an,p grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, j'ai trouvé an,p≤ p(1-p) , mais je ne sais pas si cette inégalité sera utile pour déterminer la limite.
Cordialement, Lorentz.
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Réponses
Cordialement.
\[ \mathbf{P} \left( -1 \leq \sqrt{n} \left( M_n - p \right) \leq 1 \right) \]
Soit X1, X2, … une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace de probabilité, indépendantes et identiquement distribuées suivant la même loi D. Supposons que l'espérance μ et l'écart-type σ de D existent et soient finis avec σ ≠ 0.
Considérons la somme
Alors
De plus, quand n est assez grand, la loi normale {\displaystyle {\mathcal {N}}(n\mu ,n\sigma ^{2})} est une bonne approximation de la loi de Sn.
Afin de formuler mathématiquement cette approximation, nous allons poser
et
de sorte que l'espérance et l'écart-type de Zn valent respectivement 0 et 1 : la variable est ainsi dite centrée et réduite.
Le théorème central limite énonce alors que la suite de variables aléatoires Z1, Z2, …, Zn, … converge en loi vers une variable aléatoire Z, définie sur le même espace probabilisé, et de loi normale centrée réduite {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)} lorsque n tend vers l'infini.
Cela signifie que si Φ est la fonction de répartition de {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}, alors pour tout réel z :
ou, de façon équivalente :
Cordialement.
alors
$a_{n,p}=P(|Y_n| \geq \frac1 {\sqrt{(p(1-p))}})=P(Y_n \geq \frac1 {\sqrt{(p(1-p))}}) +P(Y_n \leq -\frac1 {\sqrt{(p(1-p)}}) $
le deuxième terme tu peux utiliser le TCL le premier terme tu peux trouver sa valeur en utilisant l'inégalité de Markov
Comment appliques tu l'inégalité de Markov?
normalement si tu utilises la linéarité de l'espérance et le fait que $S_n$ suit une loi $B(n,p)$ tu as un résultat plus fort.
Sinon si tu ne te rappelles pas de ça tu sais que $S_n$ suit la loi $B(n,p)$ donc $E(S_n)=np$ et donc quand tu calcules $E(Y_n)$ en utilisant la linéarité de l'espérance tu vois que tout s'annule.
Merci pour ton aide en tout cas
Cordialement.
$1-P(-\frac1{\sqrt{p(1-p)}}< Z< \frac1{\sqrt{p(1-p)}})$ mais ça revient au même.
Étudie les variations de $p\mapsto p(1-p)$.
Cordialement.
p (1-p) est entre 0 et 1/4 ( par exemple p(1-p) peut être égal à 1/8 ou 1/100...)
Donc l'inverse de p(1-p) est où ? pas entre 0 et 4.
Tu n'y es pour rien, mais tu n'as pas eu la chance d'avoir un enseignement de qualité.
Du coup, à chaque étape, contrôle la cohérence de ce que tu écris.
Par ailleurs, sur cette dernière image, un matheux rigoureux ne sera pas d'accord.
Je dois lire comment tout ça ?
Option 1 :
Pour tout p entre 0 et 1 , virgule , bla bla équivalent à bla bla 2
ou bien :
Option 2 :
pour tout p entre 0 et 1 bla bla est vrai
et c'est équivalent à
pour tout p entre 0 et 1 bla bla2 est vrai
Je sais que dans ton esprit, c'est l'option 2.
Mais si je lis mot à mot, ce que tu as écrit, c'est l'option 1.
Si un collégien écrit ce que tu as écrit, je dis ok, passons.
Si un lycéen écrit ce que tu as écrit, je dis non, c'est faux.
Un texte mathématique, ça se lit à voix haute, avec des mots de liaison, des intonations, des débuts de phrases et des fins de phrases. Là, j'ai l'image et pas le son. Donc je ne sais pas comment tu lis tout ça.
Lis cette discussion https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2203942/redaction-mathematique#latest, il y a de très bons conseils de rédaction, qui placent la barre très haut.
Le document qui est commenté ... il était donné dans le premier message, mais il a disparu dans la migration du site.
Chaurien a redonné le lien à la fin, le 27 mai. http://skaddouri.maths.free.fr/Page_web_fichiers/Cours/Redaction.pdf
Pour moi, ou si on se réfère au pdf ci-dessus, ce que tu écris, ce n'est pas bon.
Mais ce que tu écris, c'est conforme à ce que la majorité des étudiants écrivent. Donc, la norme actuelle dit que c'est bon.