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Polynômes orthogonaux

Bonjour,
Il y a un exercice de Centrale que j'aimerais donner en colle (c'est celui que j'ai eu aux oraux en fait :blush:), mais je ne comprends pas ce que veux nous faire faire la dernière question. Je sais démontrer l'objectif donné en question 3 sans passer par le signe de $P_n P_{n+1}' - P_n' P_{n+1}$ (donc en courcircuitant l'énoncé), et si on sait que $P_n P_{n+1}' - P_n' P_{n+1}$ est de signe constant je vois comment conclure (avec $(\frac{P_{n+1}}{P_n})'$), mais je ne sais pas comment montrer directement que le signe de $P_n P_{n+1}' - P_n' P_{n+1}$ est constant. Ça m'intéresse car une preuve fidèle à l'énoncé risque d'être plus courte que celle que j'ai trouvée.
Merci d'avance
  1. On pose, pour tous $P, Q \in \mathbb{R}[X]$, $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} |t| P(t) Q(t)\, \mathrm{d}t$. Et on note $(P_n)$ la base d'orthonormalisation de Schmidt de $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$. Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N},\; \deg P_n = n$.
  2. Montrer que $P_n$ est une fonction paire si $n$ est pair, et que c'est une fonction impaire si $n$ est impair.
  3. Dans la suite, on souhaite montrer que $P_n$ a $n$ racines dans $[-1,1]$ et que les racines de $P_n$ et $P_{n+1}$ sont entrelacées. Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose : \[Q = \prod_{\alpha \in Z(P_n) \cap [-1,1]} (X - \alpha)\] Montrer que $\langle P_n, Q \rangle \neq 0$ puis que $P_n$ a $n$ racines dans $[-1,1]$.
  4. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $R_n$ le reste dans la division euclidienne de $P_{n+2}$ par $P_{n+1}$. Montrer que $R_n$ est orthogonal à $\mathbb{R}_{n-1}[X]$.
  5. Montrer qu'ils existe trois suites réelles $(a_n), (b_n), (c_n)$ telles que : $\forall n \in \mathbb{N},\; P_{n+2} = (a_n X + b_n) P_{n+1} + c_n P_n$
  6. On note $k_n$ le coefficient dominant de $P_n$. Trouver une relation entre $k_n$, $k_{n+1}$, $a_n$ et $c_n$.
  7. Montrer que $P_n P_{n+1}' - P_n' P_{n+1}$ est de signe constant sur $[-1,1]$. Conclure.
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Réponses

  • Modifié (June 2022)
    Bonjour
    Si on note $U_n=P_nP'_{n+1}-P'_nP_{n+1}$ on calcule $U_{n+1}$ en utilisant la relation de contiguité donnant $P_{n+2}$ pour obtenir
    $\forall n, U_{n+1}=a_nP_{n+1}^{2}+c_nU_n$ (erreur de signe signalée par calli)
    Je ne sais pas si cela permet de conclure par récurrence. Il faudrait voir avec la question précédente.
  • Modifié (June 2022)
    Si tu considère $\frac{P_{n+1}}{P_n}$, sa dérivée est de signe constant sur chacun des intervalles entre les racines de $P_n$ et les limites en ces racines sont infinies donc $P_{n+1}$ s'annule entre ces racines. Il reste à régler le cas des deux intervalles aux extrémités.
    Si on considère plutôt $\frac{P_{n}}{P_{n+1}}$, on a moins de problème avec les extrémités.
  • Modifié (June 2022)
    C'est marrant, ce sujet me rappelle :
    [Préférer joindre un fichier à un lien sur le web qui disparaîtra tôt ou tard. AD]
    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
  • Modifié (June 2022)
    Merci @Lars et désolé j'ai oublié de préciser le résultat de la question 6 qui est $a_{n} k_{n} + c_{n} k_{n+1} = 0$.
    J'avais trouvé $U_{n+1}=a_n P_{n+1}^2-c_n U_n$ avec un signe $-$. Et je me rend compte en fait que, si je n'ai pas fait d'erreur sur ce $-$, les signes de $a_n$ et $c_n$ (resp. $>0$ et $<0$, connus grâce aux questions précédentes) montrent que $U_n \geqslant 0$ par récurrence. Ce qui répond à ma question.

    Étonnamment, il m'arrive de temps en temps quand j'ouvre un post pour poser une question, de trouver inopinément la réponse peu de temps après avoir écrit le post, ce qui est assez gênant vis-à-vis des gens qui répondent (ou encombre juste le forum quand personne n'a eu le temps de répondre). Parfois, ça survient avant de cliquer sur "publier", donc j'évite la bourde. C'est un drôle d'effet psychologique.
  • Merci pour la remarque @bisam.
  • J'en profite pour demander si vous vous en sortez avec le polynôme $Q$ de la question 3, car j'ai plutôt l'impression qu'il faut prendre le produit des $(X-\alpha)$ avec $\alpha$ une racine de $P_n$ dans $[-1,1]$ de multiplicité impaire.
  • Modifié (June 2022)
    Ou bien le produit des $(X-\alpha)$ avec multiplicité $P_n$ s'écrit alors $P_n=Q.R$ où $R$ possède une factorisation (éventuellement vide) en irréductibles de degré 2 et en facteurs $X-\beta, |\beta|>1$ tout ceci assurant que $R$ est de signe constant sur $[-1;1]$ et donc $|t|P_nQ=|t|Q^2R$ est de signe constant...
  • Désolé, je n'ai pas compris ce que tu dis @Lars. Je ne comprends pas "avec multiplicité $P_n$" notamment.
  • Modifié (June 2022)
    J'ai oublié une virgule entre multiplicité et $P_n$...
    Je reprends :
    on prend $Q=\prod_{\alpha\in E} (X-\alpha)^{n_{\alpha}}$ où $n_{\alpha}$ est la multiplicité de $\alpha$ dans $P_n$ et $E$ les racines de $P_n$ dans $[-1;1]$.
  • D'accord. Mais dans ce cas, je ne crois pas que tu obtiennes que P a n racines distinctes dans [-1,1], mais seulement n racines avec multiplicités dans [-1,1]. 
  • Modifié (June 2022)
    Oui tout à fait, mais je ne comprends pas la remarque.
    L'énoncé ne demande pas de montrer qu'elles sont distinctes...
    Je n'ai pas fait l'exercice, cela pose peut-être un problème pour les questions suivantes ie les histoires d'entrelacement...je ne sais pas.
  • Oui c'est vrai que c'était pas précisé. Je vais l'ajouter à l'énoncé pour que la question soit plus claire. Merci pour tes réponses. 
  • Modifié (June 2022)
    Bonjour
    Si on suppose qu'il n'y a pas d'erreur d'énoncé, on pourrait procéder ainsi si on a besoin que les racines soient distinctes.
    On commence par montrer que tout polynôme réel possédant un zéro multiple dans C (ou R, ce qui suffirait pour la suite) est divisible par un facteur carré dans R[X].
    Puis, si on suppose qu'une des racines (éventuellement complexe mais on peut rester réel) de Pn est multiple, on considère $P_n/C$ où C est un carré de R[X]  divisant P_n, puis on constate que (Pn, Pn/C) est nul non compatible avec la stricte positivité de l'intégrale.
    Puis on introduit le polynôme de l'énoncé.
  • C'est vrai. Mais je vais modifier l'énoncé ; ce sera plus simple. 
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