Polynômes orthogonaux
Bonjour,
Il y a un exercice de Centrale que j'aimerais donner en colle (c'est celui que j'ai eu aux oraux en fait ), mais je ne comprends pas ce que veux nous faire faire la dernière question. Je sais démontrer l'objectif donné en question 3 sans passer par le signe de $P_n P_{n+1}' - P_n' P_{n+1}$ (donc en courcircuitant l'énoncé), et si on sait que $P_n P_{n+1}' - P_n' P_{n+1}$ est de signe constant je vois comment conclure (avec $(\frac{P_{n+1}}{P_n})'$), mais je ne sais pas comment montrer directement que le signe de $P_n P_{n+1}' - P_n' P_{n+1}$ est constant. Ça m'intéresse car une preuve fidèle à l'énoncé risque d'être plus courte que celle que j'ai trouvée.
Merci d'avance
Il y a un exercice de Centrale que j'aimerais donner en colle (c'est celui que j'ai eu aux oraux en fait ), mais je ne comprends pas ce que veux nous faire faire la dernière question. Je sais démontrer l'objectif donné en question 3 sans passer par le signe de $P_n P_{n+1}' - P_n' P_{n+1}$ (donc en courcircuitant l'énoncé), et si on sait que $P_n P_{n+1}' - P_n' P_{n+1}$ est de signe constant je vois comment conclure (avec $(\frac{P_{n+1}}{P_n})'$), mais je ne sais pas comment montrer directement que le signe de $P_n P_{n+1}' - P_n' P_{n+1}$ est constant. Ça m'intéresse car une preuve fidèle à l'énoncé risque d'être plus courte que celle que j'ai trouvée.
Merci d'avance
- On pose, pour tous $P, Q \in \mathbb{R}[X]$, $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} |t| P(t) Q(t)\, \mathrm{d}t$. Et on note $(P_n)$ la base d'orthonormalisation de Schmidt de $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$. Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N},\; \deg P_n = n$.
- Montrer que $P_n$ est une fonction paire si $n$ est pair, et que c'est une fonction impaire si $n$ est impair.
- Dans la suite, on souhaite montrer que $P_n$ a $n$ racines dans $[-1,1]$ et que les racines de $P_n$ et $P_{n+1}$ sont entrelacées. Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose : \[Q = \prod_{\alpha \in Z(P_n) \cap [-1,1]} (X - \alpha)\] Montrer que $\langle P_n, Q \rangle \neq 0$ puis que $P_n$ a $n$ racines dans $[-1,1]$.
- On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $R_n$ le reste dans la division euclidienne de $P_{n+2}$ par $P_{n+1}$. Montrer que $R_n$ est orthogonal à $\mathbb{R}_{n-1}[X]$.
- Montrer qu'ils existe trois suites réelles $(a_n), (b_n), (c_n)$ telles que : $\forall n \in \mathbb{N},\; P_{n+2} = (a_n X + b_n) P_{n+1} + c_n P_n$
- On note $k_n$ le coefficient dominant de $P_n$. Trouver une relation entre $k_n$, $k_{n+1}$, $a_n$ et $c_n$.
- Montrer que $P_n P_{n+1}' - P_n' P_{n+1}$ est de signe constant sur $[-1,1]$. Conclure.
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Réponses
J'avais trouvé $U_{n+1}=a_n P_{n+1}^2-c_n U_n$ avec un signe $-$. Et je me rend compte en fait que, si je n'ai pas fait d'erreur sur ce $-$, les signes de $a_n$ et $c_n$ (resp. $>0$ et $<0$, connus grâce aux questions précédentes) montrent que $U_n \geqslant 0$ par récurrence. Ce qui répond à ma question.
Étonnamment, il m'arrive de temps en temps quand j'ouvre un post pour poser une question, de trouver inopinément la réponse peu de temps après avoir écrit le post, ce qui est assez gênant vis-à-vis des gens qui répondent (ou encombre juste le forum quand personne n'a eu le temps de répondre). Parfois, ça survient avant de cliquer sur "publier", donc j'évite la bourde. C'est un drôle d'effet psychologique.