Séries des inverses des coefficients binomiaux
Bonjour à tous
Je cherche à déterminer pour tout entier $n \ge 2$ l'expression de la suite : $\displaystyle u_n = \sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{\binom{k}{n}}$
Je cherche à déterminer pour tout entier $n \ge 2$ l'expression de la suite : $\displaystyle u_n = \sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{\binom{k}{n}}$
J'ai réussi jusqu'à présent à démontrer à l'aide de séries formelles le résultat suivant :
$u_n = \displaystyle n \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{n+k+1} \binom{n-1}{k} \left ( \sum_{j=n-k}^{n-1} \frac{1}{j} \right )$
Je pense toutefois au vu des premières valeurs de cette suite que l'on devrait avoir : $\displaystyle u_n = \frac{n}{n-1}$, mais je ne parviens pas à démontrer cette dernière égalité. Si vous avez des pistes, je suis preneur.
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Réponses
Juste par curiosité, comment peut-on démontrer que la somme que j'ai obtenue est bien égale à n/(n-1) ?