Nombre de sous-groupes finis de $\text{GL}_n(\mathbf Z)$

nimajneb

Bonsoir,

on sait que le nombre de sous-groupes finis de $\text{GL}_n(\mathbf Z)$ est fini (le morphisme d'un tel groupe dans $\text{GL}_n(\mathbf F_3)$ étant injectif). Notons $a_n$ ce nombre.

Comme on a un morphisme injectif $\text{GL}_n \times \text{GL}_m \to \text{GL}_{n+m}$, on en déduit que $a_{n+m} \ge a_n a_m$, soit encore que $b_n = -\log(a_n)$ est sous-additive. Ainsi, $\frac{b_n}{n}$ converge vers son infimum $\ell$, et on a $a_n =e^{- \ell n + o (n)}$.

Est-ce quelqu'un connaît des propriétés sur cet infimum ? Est-il fini ?

Guego

Quand tu dis « nombre de sous-groupe », c'est à isomorphisme près ? à conjugaison dans $GL_n(\Z)$ près ?

Math Coss

Oui, c'est forcément à quelque chose près, il y a par exemple une infinité d'involutions et donc de sous-groupes d'ordre deux. Le mieux serait à conjugaison près. 

Amédé

Un nombre fini de sous-groupes finis plutôt?

noix de totos

C'est effectivement un théorème dû à Minkowski qu'à conjugaison près, le nombre de sous-groupes finis de $\textrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ est fini.

S'il semble y avoir assez peu de résultats sur cette fonction dans la littérature (les cas particuliers $n=3$ à $n=10$ ont toutefois été étudiés), on connait de bonnes bornes supérieures pour l'ordre de tels sous-groupes :

Soit $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$. Pour tout $\varepsilon >0$, tout sous-groupe fini de $\textrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ a un ordre qui n'excède pas
$$\leqslant \left( 2 \sqrt 3 \left \lfloor 6 \varepsilon^{-1} + 3,5 \right \rfloor ! \, e^{1,000028n} \right)^n (n!)^{1+\varepsilon}.$$
Voir [1] pour une démonstration, dans laquelle les auteurs ont mis $e^{1,2n}$ à la place de $e^{1,000028n}$, j'ai simplement actualisé leur borne avec les connaissances actuelles de la première fonction de Tchebichef.

Référence.

[1] D. N. Rockmore & K.-S. Tan, A note on the order of finite subgroups of $\textrm{GL}(n,\mathbb{Z})$, Arch. Math. 64 (1995), 283--288.

nimajneb

Pour répondre à Guégo et Math Coss, je pense que "à isomorphisme près" suffit et est plus maniable (la conjugaison dans $\text{GL}_n(\mathbf Z)$ ne me donne pas très envie).

Oui effectivement Amédé.

Merci noix de toto pour la borne ; en revanche, si je regarde le cardinal de $\text{GL}(n,\mathbf F_3)$, j'ai :

$$|\text{GL}(n,\mathbf F_3)| \le 3^{n^2}$$

et j'ai l'impression que cette borne est meilleure que celle que tu proposes (à moins que je me sois trompé dans les équivalents de Stirling) [edit : je me suis effectivement trompé].

Amédé

Le sujet d'agregation 2008 MG traite du cas n=2.