La géométrie différentielle, c'est difficile...
Bonjour á à tous.
Le propos va peut être surprendre mais il n’existe pas de meilleur forum français pour en discuter. Pour énoncer le problème : j’en ai marre d’être une m*erde en maths et de végéter à un niveau L2-L3 d’ingé/bon préparationnaire. J’ai envie de lire un peu de maths avancées. On m’a fait grand cas de ce livre de F. Rouvière Initiation à la géométrie de Riemann et je l’ai acheté. Les deux premiers chapitres se lisent agréablement, le troisième est plus relevé et je pense que 50% du contenu est à relire en deuxième ou troisième lecture. Mais les deux derniers augmentent en difficultés, sensiblement.
Le cas des surfaces est censé nous avoir bien préparé aux variétés abstraites, mais les notions introduites :
- applications tangentes
- applications tangentes
- fibrés
- connexions
- trucs machins covariants
sont posées brutalement, je ne trouve pas cela “très naturel“ et le seul moyen que j’ai trouvé pour faire rentrer cela dans ma tête est d’écrire cela sur trois bouts de papier et de les scotcher dans mes toilettes, sur une fenêtre et sur mon frigo.
Est-ce que c’est juste moi qui suis débile ou est-ce que pour beaucoup la géométrie diff, c’est vraiment dur et qu’il faut s’y reprendre à plusieurs fois ? Je me rappelle que quand j’avais lu la moitié du Rudin, je relisais 10 fois un chapitre pour bien le comprendre. Dans la preuve de Riesz-Markov, j’avais passé une semaine dessus pour bien comprendre, 30 min chaque soir.
Je me demande si je dois adopter une approche similaire avec l’ouvrage de Rouvières. Relire le livre 10 fois, pour être certain de bien le maîtriser avant éventuellement de passer au Lafontaine ou Spivak (ou que sais-je). Je réalise aussi que c’est peut être “la meilleure” introduction au sujet et que si je dois me résigner à abandonner cela, je ferai une croix sur les maths et j’irai retourner des burgers.
Je précise que je suis “autodidacte”, j’ai fait prépa mais j’ai eu le malheur d’aller en école d’ingé et j’ai rien eu comme cours sur la géométrie. Oh, on est en France, qu’on ne s’imagine pas d’avoir un master de maths avec un bagage d’algèbre ou de géométrie surpassant la L2 tudieu !
---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
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Réponses
Je pense que @Positif parle de l'Initiation à la géométrie de Riemann, pas du PGCD.
Bien que la préface semble dire que la connaissances de variétés différentielles ne soit pas nécessaire, le livre de François Rouvière n'est peut-être pas l'introduction idéale à la géométrie différentielle car les variétés riemanniennes sont un peu plus que de simples variétés différentielles.
La géométrie riemannienne est tout simplement une branche de la géométrie différentielle, donc tu es en train d'étudier un livre sur un sujet assez spécifique.
Sinon je te rassure, la géométrie différentielle est difficile pour tout le monde !
Peut-être qu'en persistant, tu arriveras à maîtriser complètement le livre de François Rouvière, ce n'est pas impossible.
D'ailleurs c'est ce que tu cherches apparemment ?
Il peut être intéressant d'avoir plusieurs livres sous la main pour voir différents points de vue.
Pour ma part j'ai beaucoup appris en lisant plusieurs livres sur le même sujet dans lesquels les notions étaient présentées parfois de façons différentes.
Après avoir travaillé sur l'un d'entre eux et être revenu sur un autre, je me suis rendu compte que je comprenais beaucoup mieux !
Le Spivak est une référence incontournable. Le livre de Jacques Lafontaine, je l'ai lu un peu il y a fort longtemps mais il ne m'a pas laissé un souvenir impérissable (je ne comprenais de toute façon pas bien la géométrie différentielle à l'époque).
J’ai lu le message trop rapidement.
(j’avais ajouté un « S »).
https://www.goodreads.com/book/show/32720188-initiation-la-g-ometrie-de-riemann
La deuxième édition de PGCD se trouve sur archive.org.
A+
http://www.geothalg.ulg.ac.be/Geodif_New.pdf
1 - oui je sais ce qu'est une sous-variété. C'est (au choix) :
* un graphe local
* l'ensemble des zéros d'une fonction $F(x, y, z, \cdots) = 0$ pourvu que $D F (x, y, z, \cdots ) $ non tous nuls
* une carte locale entre ton ouvert de $\mathbf{R}^n$ et un ouvert de $\mathbf{R}^p \times \{ 0, 0, 0, \cdots \} $
Et c'est surtout la deuxième étoile qui me sert en pratique j’ai l’impression. La première étoile semble vraiment utile dans le cas 3D.
Si tu demandes ce qui se cache sous ces équivalences, c'est le théorème des fonctions implicites, qui se démontre avec le théorème d'inversion locale, qui se démontre avec un argument de point fixe (version $\mathcal{C}^k$ lolilool ? Je n'ai trouvé nulle part une preuve de la version $\mathcal{C}^k$ du théorème, c'est introuvable)
2 - courbure : déterminant de l'application "normale". Si on paramétrise la surface comme un graphe local $(x, y, f(x, y) )$ alors on a une jolie forme pour l’expression de la courbure. Pour la seconde forme fondamentale j’ai oublié mais comme elle est extrinsèque on s’en moque non ?
Donc partant de ces connaissances basiques, je veux savoir ce que je dois faire pour pouvoir mesurer des surfaces. Si je dois réfléchir plus attentivement à la "GD" normale avant de faire de la "GR" pas de problèmes, j’accepte.
@Mr.Floquet : merci beaucoup je vais regarder cela. ---> www.youtube.com/watch?v=BVVfFS3mgc
Voici pour vous récompenser :
www.youtube.com/watch?v=cDxzTKPq88&t=11s
dans $\R^3$ avec de nombreux exemples et exercices, ça permet de d’avoir une très bonne base pour la géométrie riemannienne. https://www.amazon.com/Differential-Geometry-Curves-Surfaces-Mathematics/dp/0486806995
J'ai trouvé un truc vraiment bien expliqué. Les auteurs français n’écrivent pas pour les étudiants mais pour eux. Ils écrivent pour satisfaire leur égo de mathématicien. Differential Geometry of Curves and Surfaces de Shinichi Kobayashi .
@Homo Topi
Merci d'avoir pris le temps de répondre. La géométrie différentielle est en effet un sujet intéressant car il a l'avantage de (presque) se visualiser et de poser des questions assez naturelles sur la forme des objets, les distances sur une surface, les champs de vecteurs, etc. En tout cas, plus naturelles qu'en algèbre ou en analyse fonctionnelle pour prendre des exemples de domaines des maths qui me paraissent beaucoup moins naturels. Je pense de plus vaguement pouvoir me servir de la géométrie différentielle en programmation (si besoin est, un jour).