Topologie induite

Diameyy

Bonjour,
Je bloque pas mal sur une question.
En fait il s'agit de déterminer les ouverts de l'ensemble {0}U{1/n | n∈ ℕ} muni de la topologie induite par ℝ

Intuitivement j'ai envie de dire qu'il s'agit de la topologie discrète mais je ne vois pas vraiment comment le prouver.
Quelqu'un aurait-il une (ou plusieurs ça peut toujours être intéressant) piste ? Merci.

Soc

Est-ce que {0} est ouvert?

math2

Cela peut se traiter à la main, et Soc t'oriente bien pour répondre déjà à ta proposition, et sans doute plus. Je procéderais d'ailleurs "à la main".

On peut aussi répondre à l'exercice en se souvenant de la caractérisation des ouverts pour la topologie induite en fonction des ouverts pour l'espace ambiant. Si cela ne t'est pas si clair, ou si tu ne connais pas le résultat, tu peux commencer par te demander quelles sont les boules pour la topologie induite en fonction des  boules de l'espace ambiant (cela suffit à résoudre ton exo sans même revenir aux liens entre ouverts indiqués juste au dessus).

Diameyy

Soc a dit :

Est-ce que {0} est ouvert?

Étant donné que le complémentaire de {0} est {1/n | n∈ ℕ} et que la suite 1/n n'a pas sa limite dans cet ensemble,  {1/n | n∈ ℕ} n'est pas fermé et par complémentarité {0} n'est pas ouvert j'ai juste ? Donc la topologie induite n'est pas la topologie discrète.
Mais du coup par exemple {1} devrait en théorie être un ouvert puisque {1} = X∩]3/4;5/4[ par exemple je suppose du coup que l'ensemble des ouverts est les singletons {1/n} sont ouverts et leurs unions également ? 

math2 a dit :

On peut aussi répondre à l'exercice en se souvenant de la caractérisation des ouverts pour la topologie induite en fonction des ouverts pour l'espace ambiant. Si cela ne t'est pas si clair, ou si tu ne connais pas le résultat, tu peux commencer par te demander quelles sont les boules pour la topologie induite en fonction des  boules de l'espace ambiant (cela suffit à résoudre ton exo sans même revenir aux liens entre ouverts indiqués juste au dessus).

Je n'ai pas encore travaillé sur l'espace ambiant mais merci !

math2

Quand tu parles de topologie induite, cela signifie que tu considères $X$ comme un sous-ensemble d'un ensemble (en l'occurrence ici $\R$) -que j'appelle l'espace ambiant- dont tu connais la topologie. La distance que tu prends sur $X$ est la restriction à $X \times X$ de celle que tu prends sur $\R \times \R$.

Il est alors quasi-trivial que si $a \in X$, la boule (dans $X$) de centre $a$ est de rayon $r$ est l'intersection de la boule (dans $\R$) de centre $a$ et de rayon $r$ avec $X$. Avec ceci, on voit immédiatement que tes $\{1/n\}$ sont tous ouverts car égaux à des boules (dans $X$) centrées en $1/n$ et de rayon assez petit. Avec les propriétés des ouverts, ça t'en fait déjà pas mal

En revanche, toute boule (dans $X$) centrée en $0$ et d'un rayon strictement positif va contenir certains $1/n$, donc $\{0\}$ n'est pas ouvert, mais tu as une idée des boules centrées en $0$, et donc a fortiori la tête des ouverts contenant $0$.

Sinon, les ouverts de $X$ sont les intersections des ouverts de $\R$ avec $X$, mais tu as utilisé cette caractérisation pour le cas de $\{1\}$.

Diameyy

math2

Ah oui je comprends effectivement c'est plus facile comme ça, du coup les ouverts serait les {1/n} et les {0}U{1/n | n<=N avec N∈ ℕ} ainsi que leurs ouverts engendrés. Merci beaucoup !

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

raoul.S

C'est $n\geq N$ dans ta dernière accolade.