Définir les équations dans le secondaire

lourrran

Une étude donnée peut ouvrir l'esprit, elle peut apporter des éclairages différents. 
Mais même si X ou Y conclut une étude en disant : Nous avons prouvé que telle politique donne de mauvais résultats, je me refuserai à citer cette étude pour dire : Vous voyez, c'est prouvé par X et/ou par Y.

Tu cites Brousseau, je ne connais pas. Brousseau est né en 1933. Je ne sais pas de quand date cette étude que tu cites, mais j'ai peur que le biais que j'évoque soit de plus en plus fort. 
Autrement dit, Brousseau serait d'une génération où l'honnêteté intellectuelle était encore de mise, alors que les générations plus récentes seraient plus 'biaisées'.
On dénonce des comportements de plus en plus individualistes, je ne vois pas pourquoi les chercheurs seraient protégés contre cette dérive.

Vassillia

Et donc tu proposes quoi lourrran ? Choisir le sens du vent au doigt mouillé.
La valeur d'une étude ne tient pas par le nom de son signataire mais par la méthodologie appliquée, celle-ci doit être indiquée et peut être analysée et reproduite par d'autres.

Est-ce qu'il y a des biais difficile à voir ? carrément des mensonges ? Oui sans doute mais on n'a pas mieux à ce jour pour progresser. Si tu as autre chose à proposer, je n'y suis pas hostile, au contraire mais en attendant je reste sur cette approche plutôt que mon impression personnelle qui ne vaut rien, pas plus que la tienne ou celle de n'importe qui à mes yeux.

Bon sinon sur le fond, le tutorat d'après mon expérience dans le supérieur peut effectivement être intéressant pour le plus faible et le plus fort mais il n'apporte la même chose : pour le plus faible, il va apporter des connaissances sans la pression du prof et pour le plus fort, il va apporter de la confiance en soi qui peut avoir pour conséquence une meilleure réussite.

C'est à encourager mais dans tous les cas, il faut quand même des prérequis à l'élève sinon les connaissances ne sont pas accessibles tout simplement. Il faut aussi avoir conscience que la compétition existera un jour ou l'autre, on peut retarder l'échéance pour protéger l'adulte en construction mais il faut aussi le préparer à accepter l'idée qu'il y a des personnes plus intelligentes, plus riches, plus chanceuses, plus (ce que vous voulez) qui auront ce que lui n'aura pas.

Ne pas l'y préparer en fera juste quelqu'un de frustré donc malheureux, le monde autour de lui ne changera pas parce qu'on l'élève dans un cocon même si évidemment je suis pour une meilleure répartition.

lourrran

Quand on me dit que le tutorat c'est bien, je suis assez convaincu, je ne rejette pas en bloc.  Je pense en effet que les 2 gamins sont gagnants dans l'histoire.
Ca me paraît tellement évident, que ce n'est même pas la peine de faire des mesures, des échantillons, des analyses, c'est une idée intelligente.
En tant qu'étudiant, interne, en classe prépa, c'était notre quotidien. Qui a compris tel truc, je ne comprends pas, qui veut bosser ce chapitre avec moi  c'était quotidien à la cantine ou au dortoir.

Mais pourquoi cette idée s'opposerait à la mienne ? Je suggère de regrouper des élèves avec des niveaux moins hétérogènes, et ça n'interdit absolument pas le tutorat ! Dans le groupe des rapides, il y a les très rapides et les moyennement rapides... Je veux du tutorat, je suis d'accord avec Cyrano.

Il me semble (pas totalement sûr) qu'en France, on a même une stratégie qui est l'opposé de la mienne : ne pas laisser faire le hasard, ne pas laisser faire la géographie, si une école est entourée essentiellement de logements bourgeois, et une autre au cœur d'un quartier populaire, on va adapter la carte scolaire, pour avoir des populations aussi hétérogènes que possible dans les 2 établissements.

L2M

Quel est le nombre maximum d'élèves autorisés dans les classes ?

Vassillia

C'est là où ça se complique en effet.
Trop d’hétérogénéité empêche l’acquisition des connaissances pour tout le monde sauf une minorité qui s'organise autrement ou les petits génies qui apprennent tout seuls.
Pas assez hétérogénéité fait que des milieux trop différents ne se rencontrent jamais et cherchent à "s'entretuer" par la suite rendant la cohésion du pays et la vie en collectivité impossible.
La seule solution pas trop déconnante à mes yeux serait d'aider les milieux défavorisés pour amortir un peu la différence de chance à la naissance et pouvoir faire des classes de niveau plus mélangés par la suite. Mais du coup tout le monde râle car cela coute de l'argent aux classes favorisés et car cela ne permettra jamais complétement aux classes défavorisés de rattraper les autres et comme chacun ne pense qu'à soi... au lieu d'essayer d'avancer ensemble.
M'enfin revenons aux équations, on n'aide pas beaucoup Soc avec nos histoires, nous sommes des élèves indisciplinés.

L2M

Conclusion : Les salaires des enseignants doivent  être augmenter et la pleine confiance en eux doit être restaurée. Dépenser de l'argent sans austérité dans le secteur le plus vital du pays. Ce qui signifie former de nouveaux enseignants et construire de nouveaux établissements pour réduire le nombre d'élèves dans les classes. le programme doit être léger et efficace. Les enseignants sont devenus des guerriers, leur seul souci, contrôler leur classes, et ils n'ont plus assez de temps ni de conditions pour la créativité.

lourrran

Former de nouveaux enseignants...  c'est un beau slogan, mais c'est impossible.

On manque d'ingénieurs, de médecins. Et toi, tu dis : piochons dans ce vivier des gens qui ont les compétences pour être profs /ingénieurs /médecins, et orientons plus de gens vers le métier de prof.
Soit, mais on va encore plus manquer d'ingénieurs ou de médecins.

Le vivier de gens 'brillants', il n'est pas extensible. Il est une des données de l'équation.
Et plus on 'ratisse large' pour avoir beaucoup de profs, plus on se récupère des profs moyennement compétents. On n'est pas forcément gagnants dans l'histoire.
Et même si on pouvait avoir d'un coup de baguette magique plein de profs compétents, ça ne changerait pas la face du monde. Les profs, mêmes les plus compétents ne peuvent pas transformer des ânes en génies.
Le potentiel de chaque enfant, sa capacité à comprendre telle ou telle notion compliquée, elle est beaucoup déterminée par l'enfant lui-même (l'inné, l'environnement familial par exemple). Le prof a un rôle à jouer, mais il ne fait pas des miracles.

Le vivier de gens ayant un niveau mathématique suffisant est limité, arrêtons de viser la lune, et de mettre des profs en pure perte devant certains élèves. (les fameux lycéens qui doivent obligatoirement faire des maths...)

Soc

Je suis tout à fait d'accord avec Lourrran sur les études qui ne visent qu'à conforter l'opinion de départ (consciemment ou pas). De nos jours il faut trouver des études contradictoires pour avoir des éléments contradictoires au lieu de les avoir dans une même étude. Il n'y a plus de débat, ni oratoire, ni interne (c'est pour cela que j'aime ce site, car il y reste encore quelque place aux arguments contradictoires, au moins avec une partie des intervenants).

Maintenant pour revenir dans le sujet, je continuerai à utiliser mes = en couleur car cela fonctionne plutôt bien comme je l'ai encore vérifié aujourd'hui. Pour ce qui est du typage, le vrai problème est pour moi celui que j'ai décrit plus haut dans la mise en équation et que "tout le monde" fait, à savoir "soit x le nombre de trucs" puis "x vérifie l'équation 5x-3=17". Après réflexion, je pense que le meilleur moyen de corriger cela et d'aider les élèves à comprendre comment sont utilisées les équations serait de réserver la lettre x pour la résolution formelle, et d'en choisir d'autres pour les inconnues de l'énoncé (le problème réside en fait dans ce mot "inconnue". à mon sens on devrait garder le mot "inconnue" pour le nombre remplacé par une lettre et garder celui de "variable" pour l'inconnue de l'équation car on cherche pour quelle valeur de la variable x on a f(x)=0). Cela donnerait:

"On appelle D le nombre de dinosaures" blabla
"On obtient donc 5D-3=17"
"D est donc une des solutions de 5x-3=17. Trouvons toutes les solutions." résolution
"4 est la seule solution donc il y a 4 dinosaures."

Autre point de réflexion, le verbe "être" souffre du même syndrome de polymorphie que le symbole =. Par exemple la même phrase "Un carré est un rectangle" peut être considérée comme juste ou comme fausse selon la signification que l'on désire attribuer au verbe être. Est-il là pour donner la définition ou un qualificatif?

biely

J’ai un peu de mal à comprendre l’intérêt de revenir à la lettre ’’x’’ pour résoudre une équation d’inconnue D (avec D entier naturel) comme 5D-3=17. C’est peut-être une bouée de sauvetage mais c’est aussi retarder le fait d’apprendre à nager.
Je pense que justement on fait trop prendre l’habitude d’utiliser cette lettre ’’x’’ dans les résolutions formelles.
On voit bien sur certains élèves combien cette mauvaise habitude des ’’x’’ les perdent totalement quand il s’agit de résoudre des problèmes ’’concrets’’ de physique ou de chimie par exemple.

zeitnot

Je partage ce point de vue de Biely. Mes premières années d'enseignement, j'utilisais trop souvent voire quasi exclusivement $x$ pour la résolution d'équations. Ce n'est effectivement pas judicieux. Je varie beaucoup plus aujourd'hui, je pense que c'est pédagogiquement utile.

Soc

Parce que la valeur de D est fixe. Dans l'équation l'inconnue varie pour prendre toutes les valeurs possibles, en cherchant parmi elles toutes celles qui pour lesquelles on obtient une égalité. Pour le reformuler, x est une lettre muette, pas D

Dom

On en revient aux mêmes échanges. 

La résolution c’est « si x=D ». 

Non, « ça ne varie pas ». 

On ne s’occupe pas des $x$ qui ne sont pas $D$. 

En bref, on ne s’occupe pas des cas « non égal » qui te préoccupent pour rien. 

Bien sûr, le caractère équivalent des théorèmes traitent aussi les « non égal » mais … on s’en cogne.
Ça ne se voit pas. On bute vraiment, je pense, sur une question davantage personnelle que pédagogique. 

Et pour d’autres raisons, changer de lettres, c’est formateur. Comme dit plus haut, attention à ne pas garder la bouée. Ça peut même faire croire que les théorèmes s’utilisent QUE avec $x$ (attention… ça existe !). 

Soc

Je suis d'accord Dom, cela dépend de la façon dont on traite les équations. Effectivement dans ta façon de procéder cela ne gène pas, mais dans la façon dont je les présente cela gène.

Je pourrais effectivement ne pas persister dans mon raisonnement par équivalence. Mais d'une part il est beaucoup plus efficace pour traiter les cas symptomatiques (pas de solution ou plusieurs solutions). D'autre part j'ai toujours trouvé lourdissime de faire des vérifications que l'on sait futiles si l'on a compris. La résolution d'équations est un moment où l'on peut faire apparaître la magie des mathématiques, c'est-à-dire la force du raisonnement: "Si l'on a travaillé rigoureusement, alors la vérification est inutile". Les élèves sont tout à fait sensibles à cette grande force et prennent facilement goût à affronter des problèmes de mise en équation difficiles.

Je suis d'accord aussi sur le fait de les faire jongler avec différentes lettres, mais les plus faibles vont lutter bien davantage. Je le fais plutôt dans les formules type distributivité pour lesquelles je change les lettres plusieurs fois dans l'année (AF+BF = (A+B)F cet après-midi, contre k(a+b) =ka+kb hier).

Dom

Même avec équivalence, « dire que D est solution de … revient à dire que D est solution de … » ou encore « les équations suivantes d’inconnue D sont équivalentes ». 

Expliquer que ça signifie « si alors » dans un sens et « si alors » dans l’autre sens est courant.  

Pour le coup « la pédagogie c’est la répétition » s’observe énormément dans ce cas de figure.  

pldx1

"Si l'on a travaillé rigoureusement, alors la vérification est inutile". Les élèves sont tout à fait sensibles à cette grande force et prennent facilement goût à affronter des problèmes de mise en équation difficiles. Et les salmonelles dans les lasagnes ? Il eût suffit de mettre de la poudre de rigourance dans la cuve aux chocolats. Pourquoi s'ennuyer avec de lourdissimes contrôles de qualité ?

biely

Sincèrement, si j’étais élève aujourd'hui, je pense que je ne comprendrais pas grand chose à ces histoires de vérification ou pas vérification et je serais bien incapable de distinguer l’implication de l’équivalence dans la résolution d’équations. On voit bien que c’est souvent assez flou et que le vide signifie une fois l’implication (en oubliant une fois sur deux la vérification ce qui n’aide pas), une fois l’équivalence. Je ne vois rien de clair dans la manière de présenter les choses actuellement globalement.
 Les fonctions sont au programme de troisième. C’est peut-être le moment idéal de parler de fonctions injectives, surjectives et de bijections et de commencer à réfléchir sur les conditions pour avoir l’équivalence c’est-à-dire f(a)=f(b) $\Rightarrow$ a=b et aussi faire comprendre par exemple le lien entre ’’on ajoute 3 aux membres de gauche et de droite’’ avec la fonction affine f(x)=x+3 ou ’’on multiplie par 3 les membres de gauche et de droite’’ avec la fonction linéaire f(x)=3x. Bon, si c’est trop compliqué ou impossible en troisième, on peut reporter en seconde.

Soc

@pldx1 J'ai déjà lu ton point de vue sur la vérification. Je le comprends et le partage en partie, mais en partie seulement. Imposer un protocole dont ils ne comprennent pas la justification, ou pire comprennent l'inutilité peut être contre-productif. En revanche dans les faits les élèves vont se tromper souvent et comprendre que de vérifier les solutions peut être salutaire et découvrir ainsi l'écart entre la théorie et la pratique.

@biely: Si tu dis que les équations consécutives sont des questions différentes mais qui ont exactement les mêmes réponses, ils comprennent bien pourquoi vérifier n'est en théorie pas indispensable. Ce qui est effectivement plus dur pour eux à comprendre est la raison pour laquelle les équations ont bien les mêmes solutions, et là comme d'habitude seuls les meilleurs vont comprendre pourquoi le théorème fonctionne. Pour ce qui est des fonctions injectives ou autres, j'ai peur que ce soit sans espoir pour les collégiens d'aujourd'hui, mais qui sait...

Dom

Comme on a des calculatrices et qu’il est vrai que la vérification est une étape lourde on peut aussi les faire écrire : 

1) si $24x+6=17x-9$

alors 
alors $x=-15/7$

2) vérification : 
$24\times \dfrac{-15}{7}+6=-\dfrac{318}{7}$ et $17\times \dfrac{-15}{7} - 9=-\dfrac{318}{7}$. 

[On a appuyé sur des touches et on voit que c’est pareil]

Édit : coquille corrigée, merci 👍 

3) la solution est $-15/7$

La partie technique 1) est évaluée (on cherche a les voir se débrouiller pour isoler $x$), la vérification 2) qui consiste à appuyer sur des touches est une compétence non négligeable (si, si, ça fait partie aussi des choses à savoir faire, n’en déplaise aux « jamais la calculette, jamais !!! ») et la conclusion 3) rapporte le dernier point. 

Ça enlève des épines dans le pied pour le 2) car en général, sans calculatrice, c’est la vérification qui génère beaucoup plus d’erreurs que dans le 1). 
On peut proposer un barème du genre : 5-2-1   

Remarque : sur mon écran, le - n’est pas au même endroit que le trait de fraction… WTF ?!
$-\dfrac{2}{7}$ 
et le « 2 » semble un peu trop haut…

Soc

Une coquille dans le 2) mais sinon pourquoi pas. Effectivement sans calculatrice il y aurait plus d'erreurs dans la vérification que dans la résolution ici.

Dom

Ha merci !!!
Je me dis aussi que ça donne une application à la fois abstraite de la calculatrice (le gamin qui ne comprend rien ne sait pas quoi taper) et que ça fait sens (dans le bons sens du terme 🙄) notamment d’apprécier le résultat fourni sous forme fractionnaire et non décimale.

biely

Je note que les programmes incitent à utiliser l’implication au collège (qui devient souvent magiquement une équivalence en seconde) et donc aussi à l’utilisation de la calculatrice pour vérifier les solutions. (ah les fourbes! )
@Soc

Soc a dit :

Ce qui est effectivement plus dur pour eux à comprendre est la raison pour laquelle les équations ont bien les mêmes solutions, et là comme d'habitude seuls les meilleurs vont comprendre pourquoi le théorème fonctionne. 

J’ai certainement loupé un épisode mais de quel théorème exactement tu parles?

Dom

Théorème « A=B <=> A+c=B+c ». 

Je le dis vite avant que ça saute. 

Je pense que c’est celui là, en substance. 

Soc

Oui, et le multiplicatif qui va avec.

biely

OK. Merci Dom.
Ça saute aussi de plus en plus chez  moi et cela devient ingérable (je ne sais que après coup si mes messages passent ou non). 
Bonne soirée et bon week-end!

biely

Je viens de tomber un peu par hasard sur ce document sur la définition des équations dans le secondaire. Comme quoi les questions ne datent pas d’aujourd'hui.