Définir les équations dans le secondaire

bisam

Je t'accorde que les techniques de calcul littéral relèvent plutôt du raisonnement, et qu'il faut bien les apprendre et les comprendre un jour.

Magnéthorax

@bisam : pour compenser le manque d'intuition/d'expérience de nos apprentis mathématiciens, il y a quelque chose qu'on peut expliciter et qui peut aider à conduire la réflexion dans la résolution d'une équation du premier degré du type $ax+b=cx+d$ :

1. d'abord passer du temps sur $x+e=f$ et sur du $gx=h$ (ça peut être difficile suivant la nature ou l'écriture de $e,f,g,h$) ;
2. ensuite, montrer comment $ax+b=cx+d$ s'y ramène.

Plus généralement, le discours qui consiste à dire : "On se ramène à quelques cas canoniques qui ont été bien travaillés au préalable." pourrait être une stratégie adaptée pour des élèves qui manquent de repères, d'initiative.

nicolas.patrois

L’ennui, avec (x,x+e=f) et (x,gx=h), c’est que leurs solutions sont la plupart du temps évidentes pour les élèves.

Si on les étudie juste comme ça, ils n’en voient pas l’intérêt : pour eux, autant écrire un ? ou un carré à la place de l’inconnue.

Je ne suis pas en train d’écrire qu’il ne faut pas étudier ce genre d’équations, j’écris juste que si on n’indique pas le but aux élèves (résoudre (x,ax+b=cx+d) plus tard), ça a peu de chances de passer.

Cyrano

Bien vu Foys. 
Il n'empêche que je n'enseignerai tout de même pas la notion d'équation via les couples vu la difficulté conceptuelle associée. (Pour eux couple = point du plan, dans le meilleur des cas.) Par contre on ne peut pas faire l'impasse sur un discours concernant les variables libres et liées. 

Foys

Les couples ne sont bien sûr qu'un artifice de notation pour déclarer une variable liée.

On peut en utiliser d'autres: $x \mapsto y \mapsto x-2y=7$, $\lambda x \lambda y. x-2y = 7$, "l'équation $x-2y=7$ d'inconnues $x,y$", au moins ici tout est en prose etc.

Mais dans tous les cas la notion d'équation est indissociable de celle de liaison de variables et ta devinette le montre bien.

Ne pas parler de ce problème ne le fait pas disparaître, au contraire des bizarreries finissent par apparaître (cf les grandes confusions exprimées dans ce fil sur notamment quel type de rédaction de résolution on souhaite enseigner aux élèves et comment leur faire acquérir), des bizarreries qui sont ressenties confusément sans qu'on ait les mots pour les exprimer.

Je me suis carrément demandé s'il ne fallait pas enseigner le calcul littéral avant les équations rien que pour ça (en calcul littéral vous êtes dans le corps $\Q(a,b,c,d...)$ ou dans une de ses extensions algébriques et basta, toutes les lettres sont signifiantes et vous faites de la substitution simple - pas de capture possible. Ce vocabulaire abscons est-il employable devant des élèves de collège ? Peut-être que non mais les problèmes concrets auxquels il fait référence demeurent et vont pourrir la vie de l'élève comme du prof).

Dom

Ce que dit Nicolas est vérifié. Et pour cause, il s’agit même des définitions de la différence et du quotient de deux nombres. 

Les théorèmes (qui ne sont parfois jamais énoncés…) sont : 
1) quels que soient les nombres $a$ et $b$, il existe un seul nombre qui ajouté à $a$ donne $b$. On le note $b-a$ et on l’appelle « la différence de $b$ et $a$ ». 

2) idem avec « $\times$ », $b$ non nul, « quotient », etc.

Ces théorèmes à eux seuls sont des « théorèmes de résolution d’équation ». Les programmes stipulent l’expression du genre « les relatifs permettent de rendre possible toutes soustractions », j’ai oublié la formulation exacte. 

De même, on pourrait énoncer quelque chose comme ça en 4e : 
quel que soit le nombre positif $y$ et le nombre $c$ positif, si $y^2=c$, alors $y=\sqrt{c}$. 

Soc

Pour un élève, même sans utiliser le mot "somme", x+3 restera une somme.
Pour un élève, même sans utiliser le mot "fonction", f(7) désignera l'image par la fonction f.
Pour un élève, sans utiliser le mot "équation", l'équation 6x-2=3x d'inconnue x n'en est plus une (et il aura raison...).

On m'explique que l'égalité et l'équation n'ont pas le même typage. On m'explique qu'en logique l'équation nécessite une syntaxe particulière (x,6x-2=3x). Je dis qu'il n'y a pas de notation mathématique courante (ie: dans le secondaire) pour différencier les égalités et les équations et on me dit que je raconte n'importe quoi. Je reste sceptique...

Question connexe: Si dans un exercice de mise en équation on pose au début "soit x le nombre de chaises", puis plus tard "on résout l'équation 5x-3=7" n'y a-t-il pas erreur de typage ?

Foys

@Soc l'ajout "on résout l'équation $5x-3=7$ d'inconnue $x$"  ne coûte pas beaucoup d'encre supplémentaire.

Dom

Oui, je pense qu’il faut faire comme ça. 

Soc

Ce n'est pas une question d'encre (même si il faut effectivement lutter contre la paresse du stylo, celles des élèves et la notre). Bien sûr que l'on gagne toujours à être explicite mais les élèves vont vite ne s'attacher qu'à la partie écrite mathématiquement et vont oublier ce qui est autour.

Dom

Une remarque :  
Changer l’inconnue est important. $x$, $y$, $a$ ou que sais-je encore. 

Soc

Pour le cas concret? J'en conviens entièrement mais dans la pratique est-ce fait un peu, beaucoup, passionnément...?

Dom

Statistiquement, j’ose dire que c’est une règle : « l’inconnue c’est $x$ ». 

Mais j’invite tout le monde à être plus fort que ça. 

Cela commence avec le calcul littéral. 

Magnéthorax

@nicolas.patrois @Dom : je ne dirais pas que les solutions des deux petites équations sont évidentes pour les élèves de 4ème, à moins de considérer qu'ils sont bien à l'aise avec les nombres relatifs et les rationnels : $\frac{2}{3}x=\frac{4}{5}$ peut poser des problèmes, de même pour $x+1,23 = 4,5$.

Dom

« Évidentes », non, je ne le dirais pas comme ça. 

Par contre ça devrait (ça ne l’est pas !) être formel :   

Écrire « $4+x=-1/3$ » devrait provoquer « $x=-1/3-4$ ». 

Écrire « $1,39x=7,9$ » devrait provoquer « $x=7,9/1,39$ ». 

Avec de l’entraînement (ce n’est pas souvent proposé), ça fonctionne très bien. 

Pour ceux [les élèves] qui trouvent ça difficile, le problème n’est pas là où l’on le croit. Ils savent faire ça… mais ils le font dans la tête et ils sont persuadés qu’on leur demande la solution en écriture décimale ou en fraction. Une fois ce malentendu levé (là aussi il faut un entraînement…), ça sort facilement. 

Bon, on a toujours les différences ou les quotients qui sortent dans le mauvaise sens, c’est la dernière « difficulté ». 

Ainsi, j’incite les profs à demander des résultats sous forme d’expression. Pour n’importe quelle question. 

Par exemple à la question, « j’ai un triangle avec un angle qui mesure 12° et un deuxième à 57°, quelle est la mesure du troisième ? ». 

Beaucoup SAVENT mais disent que c’est trop compliqué car ils désirent effectuer le calcul. 

Préciser qu’on demande « comment faire » permet d’avoir un soulagement d’une part et la bonne réponse d’autre part « 180°-12°-57° ».

JLapin

Soc a dit :

Question connexe: Si dans un exercice de mise en équation on pose au début "soit x le nombre de chaises", puis plus tard "on résout l'équation 5x-3=7" n'y a-t-il pas erreur de typage ?

Si ! C'est je pense assez perturbant et j'imagine qu'en choisissant une autre lettre de l'alphabet ici ou là, on peut éviter ce problème.

L2M

Une equation est une balance . Il faut chercher la valeur inconnue ou les valeurs possibles pour que l'équilibre s'établisse entre les deux cotés de l'égalité.
Au niveau collège il faut se restreindre aux activités, exemples et exercices.

Dom

Attention à cette image. 

Elle est très bonne mais ensuite… des « masses » peuvent être négatives… (en soi, c’est modélisable  avec des ballons à l’hélium 😀 qui font monter les plateaux). 

Plutôt des poids d’ailleurs. 

xax

@L2M la balance plutôt que la balançoire ? 
Pour l'introduction des équations cela a l'avantage de déclencher une compréhension instantanée, tout en permettant de faire comprendre qu'on peut modéliser un problème.
Après je suppose qu'il est plus rigoureux de se placer d'emblée à un certain niveau d'abstraction, comme ça au moins on est sûr que la majorité des enfants aura des problèmes 

biely

Je reste pour ma part focalisé sur le problème de l'équivalence ou de l'implication ( pire du "rien" ou du"flou") plutôt que la précision "d'inconnue x" (qui est importante mais qui coule de source il me semble dans le cas de résolution d'équation style 2x+3=9).

Extrait d'un manuel de troisième:

Quand je lis l'exemple j'ai l'impression que ce "signifie" est une implication (mais il manque la vérification dans ce cas) et non une équivalence.

Le plus drôle est que l'on a parfois dans les manuels de seconde ce genre de rappel:

L2M

"signifie" veut dire équivaut.

Plus ils essayent de simplifier pour que les élèves comprennent mieux, plus le niveau baisse encore et encore.  Je trouve que c'est prémédité pour qu'il le soit. J'en suis un exemple concret.

Pourquoi au collège on évite d'introduire les ensembles et leur notations  (intervalles aussi) ! Pourquoi éviter la logique et l'algèbre de base ! Alors qu'avant 1965, les choses étaient bien. En tout cas j'adore les couleurs, le surpoids et la quantité des manuels. Le dos des enfants sera droit.

biely

Ce "équivaut" est loin d'être évident dans "grâce à la propriété ci-dessus, on peut dire que SI (5x+1)(3-2x)=0, ALORS soit 5x+1=0, soit 3-2x=0. Cette équation a donc deux solutions".

L2M

Tout à fait d'accord pour l'exemple. Je parlais de "signifie" en général et dans la propriété : "Dire qu'un produit est nul signifie ..."

Vassillia

Je ne comprends plus rien, bmf nous avait dit que les programmes étaient clairs, au collège implication et vérification des résultats pour préparer le terrain de la seconde où il y aura des équivalences. C'est quand même pas très clair dans les manuels, il y a 2 choses à clarifier selon moi :
-on raisonne par équivalence ou implication mais par implication, il faut normalement vérifier les solutions (sinon je multiplie par 0 les deux membres de l'équation)
-une équation consiste à rajouter une nouvelle hypothèse qui impose des choses sur x (contrairement au calcul littéral où x peut bien valoir ce qu'il veut)
Je ne suis pas contrariante sur la rédaction mais il me semble important de ne pas laisser trop de flous artistiques sur ces points au moins de la part de l'enseignant sinon on ne sait plus ce qu'on fait

lourrran

C'est tout le problème d'avoir dans une même section des élèves avec des niveaux totalement disparates.
On veut que tout le monde sache trouver les racines de $(3x-8)(x+7)=0$ ... parce que ça fait partie du minimum qu'un citoyen doit savoir faire. 
Pour cet objectif là, on enlève tous les trucs un peu rigoureux, tous les trucs qui assurément perturberaient les élèves les plus faibles, normal.
Et du coup, le futur étudiant en maths, on renonce à lui apprendre la rigueur, pire, on lui apprend un truc à moitié vrai, à moitié faux.

Enseigner des trucs 'faux', pour ensuite corriger, c'est très courant. Au primaire, on dit que 4-7, ça n'existe pas.  Et c'est très bien comme ça.  
On ne précise pas qu'on travaille dans  $\mathbb{N}$ ou dans $\mathbb{R}+$, on ne précise pas que plus tard, il y aura $\mathbb{Z}$ , et c'est très bien comme ça. C'est très bien, si on ne tarde pas trop pour introduire $\mathbb{Z}$ 

Là, on se retrouve dans une même classe de seconde avec des élèves définitivement perdus en maths depuis plusieurs années, et des futurs profs de maths. Dans la même classe. Et donc, la rigueur, la distinction entre équivalence et implication, la rédaction correcte pour résoudre une équation, on continue de s'asseoir dessus. Pour ne pas perdre les plus faibles.
Et on se retrouve avec des élèves incapables d'écrire une démonstration propre, à qui on fait croire qu'ils sont doués en maths. Des futurs OShine.

L2M

Exact.

Dom

Évitons de désigner… tout de même. 

Lourrran, je pense que tu peux effacer la dernière phrase.

« Au primaire, on dit que 4-7, ça n'existe pas.  Et c'est très bien comme ça.  

On ne précise pas qu'on travaille dans  ℕ […] »

Je pense que ce qu’il reste dans la tête des élèves, c’est bien ça. « Non 4-7 on peut pas ! On m’a toujours dit c’est pas possible !!! ». 

Mais je précise quand même qu’en général, l’information est donnée par le prof du primaire. 

Un moment ou à un autre, il l’a dit. Et c’est surtout la modélisation « des stylos, des personnes, des moutons, des pommes » qui rend le truc impossible (même si on peut tout de même y remédier…). 

Certes, il existe des choses qui sont dites mais jamais retenues quel que soit l’enseignement et quel que soit l’enseignant. C’est comme ça. 

nicolas.patrois

lourrran a dit :

Enseigner des trucs 'faux', pour ensuite corriger, c'est très courant. Au primaire, on dit que 4-7, ça n'existe pas.  Et c'est très bien comme ça.  
On ne précise pas qu'on travaille dans  $\mathbb{N}$ ou dans $\mathbb{R}+$, on ne précise pas que plus tard, il y aura $\mathbb{Z}$ , et c'est très bien comme ça. C'est très bien, si on ne tarde pas trop pour introduire $\mathbb{Z}$

Je préfère dire qu’on ne sait pas faire avec les nombres que vous (les élèves) connaissez mais que moi, je sais faire et qu’ils sauront faire dans telle classe. Idem avec (x,x²=−1).

Dom

Oui, même si sans aller jusque là, on peut trouver des « modélisations » (mot pédant, pardon) avec les températures ou l’ascenseur. 

Là où j’aurais un reproche à faire c’est qu’une énorme majorité d’élèves finit par dire « non, c’est toujours le plus grand nombre d’abord quand on soustrait ». C’est embêtant car ça ne répond pas à « 10+x=4 » mais a « 10 est plus grand donc je l’écrit d’abord ». 

Curieusement (ou pas !), pour la division, « c’est le nombre d’en haut qui doit être le plus petit ». 

Ce sont ces automatismes qui sont désastreux. 

Et c’est tellement facile à retenir que c’est dur à déconstruire. 

lourrran

Je désigne OShine, mais je ne le cite pas comme un exemple de coupable, je le cite comme une victime.
Il y a des noms propres qui deviennent des noms communs (Crésus, Poubelle ...) ; considère que OShine est un nom commun, et plus un nom propre. Là, je cite OShine parce que je pense que c'est une façon simple d'illustrer mon propos.

Quand on dit que 4-7 ça n'existe pas, etc etc
J'aimerais être petite souris, et voir comment les profs du primaire s'en sortent pour dire que 4-7, ça existe, mais que ce n'est pas au programme en primaire. Personnellement, je ne saurais probablement pas trouver le bon dosage entre 'ça n'existe pas' et 'ça existe mais on n'en parle pas'.

Dom

Ok…
Oui, je vais tenter de me renseigner au plus près du terrain si j’en ai l’occasion. 

De mémoire c’est plutôt : « avec des feutres, tu ne peux pas faire 4-7, si tu n’en possèdes que 4 dans ta trousse, tu ne peux pas en retirer 7 ».

Sato

Pour ma part, je considère que :

• on ne doit rien dire de faux ;
• 4-7, on ne peut pas, ce n'est pas faux au niveau où on l'enseigne.

Dom

On cherche à savoir si c’est « tacite » ou explicite. 

Avec une formation scientifique on entendra davantage « avec des entiers naturels, 4-7 on ne peut pas », « avec les nombres réels, $\sqrt{-4}$, on ne peut pas ». 

lourrran

Donc le dosage, c'est la distinction entre " ça n'existe pas" qui serait un couperet définitif, et "on ne peut pas" qui sous-entend que nous, enfants de primaire, on ne peut pas, mais peut-être que d'autres peuvent.
Bien joué, mais j'ai moyennement confiance.

mav1

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2362730/#Comment_2362730
Toujours ennuyeux ces choses fausses...il vaut mieux dire, vous verrez plus tard effectivement
Un de mes enfants est rentré au CP à 4 ans, 5 ans donc au CE1. La maîtresse leur fait un devoir "tableau à double entrée sur la soustraction" et oublie de griser les cases qu'un enfant de CE1 normalement ne sait pas remplir. Du coup, il se retrouve avec des 4-7, etc...et répond sans sourciller -3, que la maîtresse lui compte faux...il avait effectivement compris ça en prenant l'ascenseur...

Foys

Les maths scolaires sont faites d'entiers, d'additions et de multiplications. On définit ci-dessous des abréviations successives, introduites par "$:=$"; $a,b,c,d$ désignent des chaînes de caractère.

$\Z:=\N^2$. $+$ et $*$ sont l'addition et la multiplication usuelles de $\N$.

$"(a,b)=_{\Z}(c,d)":= a+d = c+b$

$"(a,b)<_{\Z}(c,d)":= a+d < c+b$

$"(a,b)\leq_{\Z}(c,d)":= a+d \leq c+b$

$"(a,b)\neq_{\Z}(c,d)":= a+d \neq c+b$

$"(a,b)+_{\Z}(c,d)":= (a+c,b+d)$

$"(a,b)-_{\Z}(c,d)(c,d):= (a+d,b+c)"$

$"(a,b)\times _{\Z}(c,d):= ((a*b)+(c*d), (a*c)+(b*d))"$

$0_{\Z}:=(0,0)$, $1_{\Z}:= (1,0)$

(***)

$"a/b +_{\Q} c/d":= ((a\times_{\Z} d) +_{\Z} (b\times_{\Z}c))/(b\times_{\Z}d)$

$"a/b -_{\Q} c/d":= ((a\times_{\Z} d) -_{\Z} (b\times_{\Z}c))/(b\times_{\Z}d)$

$"a/b \times_{\Q} c/d ":= (a\times_{\Z} b)/(c\times_{\Z} d)$

$"a/b =_{\Q} c/d":= a\times_{\Z} d = b \times_{\Z} c $

"$a/b$ est bien formée":= $b \neq_{\Z} 0_{\Z}$

"$a/b$ est positive":= $0_{\Z} \leq_{\Z} a\times_{\Z} b$

$"a/b \leq_{\Q} c/d":= c/d -_{\Q} a/b$ est positive.

$"0_{\Q}":=0_{\Z}/1_{\Z}$, $"1_{\Q}":=1_{\Z}/1_{\Z}$.

Sato

En primaire, on considère une opération non définie mathématiquement (selon Zermelo et tous ses amis) mais définie selon le sens commun : la soustraction. Et on l'effectue sur des « nombres », des sortes d'entités définies selon un certain sens commun mais non définies mathématiquement. On commence vers le CP, je crois. Quand on dit que 4-7 n'existe pas, on ne raconte rien de faux. On fait aussi appel à l'intelligence de l'enfant.

Plus tard on explique ou on fait comprendre que les mathématiques sont aussi abstraites, que des mathématiciens ont travaillé pour définir rigoureusement ces notions, qu'on étend ces nombres et qu'on étend cette opération pour les excellentes raisons que l'on va voir maintenant. S'il y a des élèves qui se plaignent, c'est soit qu'il sont trop bêtes (sans doute moins d'un sur dix), soit que l'ambiance dans l'éducation nationale est mauvaise. Le prof n'y peut pas grand-chose.

Dom

En effet lourrran, ce n’est pas satisfaisant. 

Une chose est sûre : les gamins, en masse, disent « on ne peut pas », en 6e. 

Mais encore une fois, le discours officiel, j’ai un doute… 
En fait j’avais entendu qu’il y avait « deux écoles » (si on peut dire…). 

mav1, c’est toujours ennuyeux ces histoires…
Pourquoi ne pas en profiter pour présenter cela à toute la classe ne serait-ce que pendant 5 minutes ?
Il faudrait savoir pourquoi ce prof fait ça. Et là encore c’est toujours un peu délicat car il se sent en général remis en cause, même quand il est dit explicitement que c’est juste pour se renseigner.

Foys

Sato a dit :

En primaire, on considère une opération non définie mathématiquement (selon Zermelo et tous ses amis)

Dans les textes de calculabilité, $a-b$ est défini pour tous  $a,b\in \N$ (et vaut en fait $0$ si $b\geq a$; en fait on a $0\in \N$ et $s:\N\to \N$ donnés, $pred(0):=pred(1):=0$ puis par récurrence sur $n\geq 1$, $pred(s(n)):=s(pred(n))$; et enfin pour tout $a$, $a-0:=a$ et $a-s(n):= pred(a-n)$ par récurrence sur $n$ (l'idée est de mettre la soustraction parmi les fonctions récursives primitives et cela la force à être définie partout).

mav1

Oui Dom ..."Et là encore c’est toujours un peu délicat ", oui fort délicat
J'ai été  prise à partie plusieurs fois sur le trottoir le soir quand je reprenais mes enfants à l'école...des parents venaient me voir, "vous avez vu ce que le maître a fait écrire dans les cahiers"...
J'ai dû un jour aller faire un "petit cours" à un remplaçant de CM2 à qui il avait été confié le cours dit de géométrie et des droites remarquables dans le triangle, mais j'avoue que j'y suis allée vraiment sur la pointe des pieds, avec le plus de diplomatie possible ...mais je trouvais insupportable que tous ces enfants apprennent par cœur des définitions complètement fausses, dessins à l'appui ! 

kioups

Droites remarquables du triangle en primaire, c'est pas mal !

lourrran

Les numéros des étages dans un ascenseur, première rencontre avec les extra-terrestres les nombres négatifs. 
Très belle anecdote, très bon support pour illustrer (dans la vraie vie) que si on est au 4ème étage et qu'on descend de 7 étages, on trouve -3.
Mais on revient au problème. À cet âge là, on veut déjà que les gamins apprennent leurs tables. Et apprendre ses tables, c'est une charge mentale énorme pour la moitié des gamins. Ajouter la gestion des nombres négatifs, c'est un simple claquement de doigts pour certains, et c'est impossible pour d'autres.
Des gens ont dit un jour que mettre les enfants doués ensemble et les enfants moins doués ensemble, ce n'était pas bien. On a décidé qu'il valait mieux viser des objectifs de 'vivre ensemble' que des objectifs d'obtenir des bons résultats scolaires. C'est un choix politique. 
On a appliqué ce choix, et on a régressé sur les 2 tableaux.

Soc

Pour anecdote, le premier cours de géométrie en 6e je demande aux élèves de me dire les mots qu'ils connaissent. On y retrouve presque tout le vocabulaire de collège. Je demande ensuite les définitions et traditionnellement aucun élève ne peut donner une seule définition juste.

biely

Ce n'est pas une histoire de doué ou pas doué pour apprendre les tables ni même de charge mentale énorme. C'est seulement une histoire d'entrainement régulier et sur du long terme. Mieux vaut cinq minutes tous les jours que 30 minutes une fois par mois (qui ne sert à rien ou presque dans ce dernier cas). C'est exactement comme la répétition espacée dans l'apprentissage du vocabulaire d'une langue étrangère. Le problème est qu'il y aura toujours le vilain petit canard qui dira "les tables ne sont pas utiles" ou "il y a la calculatrice" et ce vilain petit canard sera toujours le grand gagnant.

Cyrano

@lourran : La plupart des études montrent que faire des classes de niveaux ne monte le niveau ni des classes faibles ni des classes fortes. Dans les classes "faibles", cela aboutit souvent à une diminution du curriculum attendu (comprenez : on n'apprend littéralement plus rien), et dans les classes fortes à des problèmes psychologiques liés à la compétition notamment (on a beau être fort, on est toujours le faible de quelqu'un d'autre.)

Mathurin

Cyrano, c'est parce que dans les classes faibles, il n'y a pas d'horaires renforcés. Ce sont les profs eux-mêmes qui disent qu'au-delà d'un certain degré d'hétérogénéité il n'est plus possible de faire cours. Je crois qu'en Finlande il y a des classes de niveau.

Dom

Cyrano, as-tu une étude à ce sujet ? (classe de niveaux)
Cela m’intéresse. 

Jusqu’à maintenant, je rencontre, soit un mythe, soit plutôt « cela ne permet pas de mixité ». 

Cyrano

@Dom : Une grosse synthèse est par exemple : Dupriez V. & Draelants, H. (2004). La formation des classes et la gestion de l’hétérogénéité au sein des établissements scolaires. Revue française de pédagogie, 148, pp. 145-165.

@Mathurin : Si le prof gère seul, oui, cela pose des soucis. Mais des alternatives sont possibles, comme le tutorat. (On forme les meilleurs élèves de la classe à l'aide aux plus faibles et on groupe un tuteur et un tutoré sur chaque banc.) Le tutorat est en général bénéfique pour les deux (même pour le plus fort !)

lourrran

Une étude est toujours le reflet de ce que l'auteur pensait AVANT de faire ses mesures, beaucoup plus que le reflet des mesures elles-mêmes.

A 25 ans, un individu choisit de devenir ingénieur chez IBM ou de devenir 'Chercheur en pédagogie'. Déjà, à cette étape, il y a un biais. Ceux qui choisissent une carrière comme ingénieur ou assimilé ont une certaine sensibilité, et ceux qui choisissent d'observer le fonctionnement de la société ont une autre sensibilité. 
Exemple : si à 16 ans (influencé par l'air du temps), je suis convaincu des méfaits de l'automobile, je vais m'orienter vers une carrière de chercheur sur la pollution causée par l'automobile,  et je n'aurai de cesse de prouver que l'automobile, ça tue, et si ce sujet de la pollution automobile ne me préoccupe pas plus que ça, je vais postuler pour aller bosser chez tel constructeur automobile.

Par ailleurs, une étude sur un thème X ne commence jamais par : je vais regarder tel truc et je vais voir s'il un a un effet A ou un effet B, ça commence toujours par : Je vais regarder tel truc, parce que je pense que ça a un effet A. 

Toute étude est (plus ou moins) biaisée. Et même si 10 études disent la même chose, ce n'est pas significatif. Un chercheur sait qu'il a tout intérêt à aller dans le sens du vent, pour avoir des promotions, des budgets  etc etc

Cyrano

@lourran : Doit-on comprendre qu'il n'y a aucune façon d'avoir la moindre connaissance sur le moindre phénomène de société, puisque nous sommes tous "biaisés" ? 
Il est évident qu'un chercheur commence une étude en ayant déjà une opinion A. Le principe de la science c'est que ce chercheur va essayer d'attaquer cette opinion A. Autrement dit en sciences, on cherche à prouver qu'on a tort, pas qu'on a raison.
C'est typiquement le cas d'un des didacticiens des maths le plus connu : Brousseau. Ce dernier avait comme opinion a priori que le socio-constructivisme était une charlatanerie. Il pensait que les élèves ne pouvaient pas réellement faire émerger le concept par eux. Au final, en attaquant sa propre position de base, il a fini par mettre en lumière des conditions nécessaires (non suffisantes) pour qu'une expérience socio-constructiviste puisse fonctionner.