Définir les équations dans le secondaire

Soc

Tout est dans le titre ! Je suis curieux de savoir comment vous définissez les équations aux élèves de collège et de lycée.

Pour être plus précis, les emplois multiples du symbole = me semblent être problématiques dans l'enseignement. Je conçois bien qu'un matheux n'ait pas de difficulté à savoir s'il manipule une égalité, une identité ou je ne sais quoi d'autre et se satisfasse d'un symbole polymorphe. Je pense par contre que c'est beaucoup moins vrai pour les élèves. À titre personnel, j'ai des souvenirs assez net de confusion, notamment quand on commence à faire de la substitution dans les équations, et les explications que j'avais reçues à l'époque me paraissaient être à côté de la plaque.

Cyrano

Je définis une équation comme une question. Ecrire $x^2-1=0$ est un raccourci de la phrase "Existe-t-il $x\in \R$ tel que $x^2-1 =0?$" Résoudre l'équation c'est deux choses : 
1) Répondre à la question existentielle. (Oui/Non)
2) Donner un ensemble exhaustif répondant à la question.
Parfois, on peut faire 1) sans faire 2). 
Lorsque je résous l'équation formelle, j'utilise soit des équivalences, soit rien du tout. Et en fait je préfère la seconde option car beaucoup d'élèves prennent le signe d'équivalence pour un égal. Autrement dit, j'écris \begin{align*} x^2-1&=0 \\ (x-1)(x+1)&=0 \\ x&=\pm 1\end{align*} De cette façon, le saut de ligne vaut pour une équivalence. Si le passage d'une ligne à une autre est une implication stricte qui n'est pas une équivalence, je force l'attention des élèves d'une façon ou d'une autre. (Ca peut être avec un petit signe attention écrit en rouge, etc ...)

Dom

Il y a eu plusieurs discussions là-dessus, dans le forum. 

Le presque consensus était que « équation » n’est pas un objet purement mathématique. 

Je vois les choses comme ça : prendre un exemple et ne pas définir certains mots même si on les utilise. 

Je m’essaye à un exemple de texte qu’on pourrait trouver dans un cahier de collégien (4e peut-être ?). 

Il est entendu qu’au collège, il n’existe que « des nombres » (les réels du lycée…). Ainsi je ne pense pas qu’il faille absolument parler d’ensembles de tous les nombres, etc. Je fuis largement cette question. 

Je fuis aussi la question « résoudre dans un ensemble ». J’écris quelques remarques entre crochets mais ça n’apparaît pas dans la trace écrite.  

—début —
1) généralités 
·lorsque l’on dispose d’une égalité dont l’un des nombres est représenté par une lettre (éventuellement écrite plusieurs fois) on dit qu’il s’agit d’une équation à une seule inconnue. 

[on remarque que ce n’est pas une définition]

Exemples d’équations à une seule inconnue : 
a) $3x+5=8$  b) $5y^2-\sqrt{y}=4y+3$

·résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs que l’on peut mettre à la place de la lettre (l’inconnue) pour obtenir l’égalité.  

·ces valeurs sont appelées les solutions de l’équation. 

remarque : parfois il n’y en a pas, parfois il y en a une ou plusieurs. On parle de l’ensemble des solutions de l’équation. 

—fin—
Je vois ensuite quelques exemples d’équations accompagnés de leurs ensembles de solutions. 

Puis parler d’équations équivalentes (c’est quand les ensembles de solutions sont les mêmes). 

Enfin, pour la résolution, en fin de compte on n’ose pas regarder les choses en face : le théorème fondamental est une lapalissade. 

Je l’énonce de manière experte :
« soit $f$ une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Quels que soient les réels $a$ et $b$, si $a=b$, alors $f(a)=f(b)$. »
C’est évident. Mais ça pose des problèmes car on ne sait pas ce qu’est une fonction, d’une part, et, d’autre part, même si on sait ce que c’est, on utilise en fait ce que personne ne définit, à savoir ce que signifie le symbole « = ». 

Christophe, intervenant régulier du forum, jadis disait « égal ça signifie que tout ce qui arrive à l’un arrive à l’autre » si je parviens à le citer correctement. 

C’est comme ça qu’on résout des équations, de manière générale, sans connaissance. Par ce théorème (est-ce une définition d’ailleurs ??)). 

Ensuite vient le théorème «quels que soient A et B,  AB=0 <=> A=0 ou B=0 » qui est d’un autre ordre. 

Ai-je dit des bêtises ?

lourrran

Bernard est le fils d'Albert.
Quand Bernard aura 40 ans, Albert aura le double de l'âge de Bernard.
Quel âge avait Albert à la naissance de Bernard ?

Jusque là, pas d'équations, pas de maths même.
On traduit cela en équations (j'aime beaucoup cette phrase, je trouve qu'elle devrait figurer systématiquement dans tous les exercices avec un support pseudo-réel ; c'est certainement un bon support pour définir ce que c'est qu'une équation ).
Soit A l'âge d'Albert à la naissance de Bernard.  A est l'inconnue. On présente les inconnues, comme on présentait tel duc ou telle duchesse au roi Louis XIV 
La première affirmation nous dit que A+40=2*40  ...Et donc une équation est une affirmation, disons une information, dans laquelle figure une ou des inconnues.
Eventuellement, ici, on rappelle aux élèves qu'ils ont fait des exercices de ce genre :  ?+40=2*40, trouver le nombre manquant.  C'était déjà une équation.

Quand on traduit un énoncé en équation, on présente les inconnues, puis on pose les équations.  On a besoin de définir le mot 'inconnue' avant de parler d'équation. Et bonne nouvelle, le mot 'inconnue' est un mot très courant, même en dehors des maths.

Bof,
Pas sûr qu'on ait réellement avancé avec ça.  Mais peut-être un peu quand même.


Peut-être que c'est plus facile de définir une inéquation ?  et du coup, si on sait précisément comment on présentera les inéquations le jour venu, on présente les équations d'une manière similaire ?

Dom

Ce qui est difficile de mon point de vue, c’est que partir d’un cas concret pour arriver à « un outil mathématique », ça ne marche quasiment jamais. 

À cause du français notamment, ou d’autres paramètres culturels. 

C’est d’ailleurs ce que l’inspection préconise. 

En activant mon mode sarcastique j’en déduirais que c’est pour cela que ça ne marche pas et qu’il ne faut pas le faire.

Mathurin

De mon point de vue:

- on commence par rappeler ce qu'est l'égalité avec la phrase de Christophe (tout ce qui arrive à l'un arrive à l'autre)

- puis on introduit la notion d'expression littérale (qui comprend des lettres pour des nombres)

- puis la notion d'inconnue (nombre dont la valeur n'est pas connue, représenté par une lettre)

- enfin celle d'équation (une égalité entre des expressions éventuellement littérales comprenant une ou plusieurs inconnues)

mais c'est peut-être trop simple...

Dom

En fait, ce n’est pas trop simple. 

Il faut trouver le compromis entre RIEN et « noyer tout le monde avec un lexique indénombrable ». 

L’idée de se lancer et de traiter des exemples simples permet d’éviter l’écueil « on a plein de termes nouveaux mais je n’ai rien compris ». 

Ce que dit lourrran avec « ?+7=8 » est connu par les élèves sous le nom « opérations à trous ». 

Mathurin

Un point est qu'une expression littérale n'est pas forcément un membre d'une "opération à trous".

Quand j'écris  "base*hauteur/2" , c'est une expression littérale (j'ai même des mots et non des lettres, je peux l'écrire B*H/2), ce n'est pas nécessairement une "opération à trous". La base et la hauteur peuvent être connues.

Une "opération à trous" est un cas particulier d'équation.

Dom

Oui. 

Le terme « équation » reste peu définissable. 

Il y a certainement la notion d’égalité dans l’étymologie mais ensuite ça reste obscure. 

« Connaître » ne se définit pas. 

Mathurin

C'est le terme "expression" qui te gênes ?

Une expression est un suite de signes mathématiques qui peut être calculée.

Une expression littérale est une expression dont on a remplacé certains nombres par des lettres.

Moi cela me parait clair et justifiable, même en collège.

Foys

Une équation (à une inconnue; la généralisation à plusieurs inconnues est immédiate d'autant qu'on peut manipuler des couples en maths) est un couple constitué d'une lettre et d'un énoncé de la forme "$A = B$" où $A$ et $B$ sont des formules mathématiques.

Soit $E$ un ensemble. La solution dans $E$ d'une telle équation est l'ensemble des objets $t$ qui satisfont l'énoncé obtenu en remplaçant la lettre de l'équation par $t$ dans l'énoncé "$A=B$" ci-dessus.

Par exemple étant donné deux réels $a$ et $x$ avec $a$ strictement positif, l'équation $(t,\frac a 2 t^2 = x)$, dite aussi "équation  $\frac a 2 t^2 = x$ d'inconnue $t$, admet pour solution dans $[0,+\infty[$ l'ensemble $\left \{ \sqrt {\frac {2x} {a}} \right\}$. L'unique élément de cet ensemble est la durée qu'il faut à un mobile démarrant au repos pour parcourir une distance de $x$ (exprimée dans l'unité de longueur que vous voudrez) lorsqu'il se déplace en ligne droite en subissant une accélération uniforme $a$.

Dom

Non, non, ça ne me gêne pas. 

J’ai lu « nombre dont la valeur n’est pas connue ». 

Si c’est une phrase qui illustre un propos, ça me va. 

Mais je disais juste que l’on ne peut pas appeler ça une « définition mathématique » à cause de « connue ». 

Question :
$2x+3x=5x$, est-ce une équation d’inconnue $x$ ?
reformulée avec Foys,
$(x, 2x+3x=5x)$ est une équation. 

Cela me va. Mais je crois que l’idée d’équation est une histoire de « je cherche, je connais, etc. » qui sort des maths. 

Cyrano met les pieds dans le plat « c’est une question », « existe-t-il … ? ». 

Ainsi, chercher une définition formelle de « équation » permet peut-être de se rassurer mais finalement est-ce pertinent de se prendre la tête pour se rassurer alors que l’objectif du secondaire se fiche éperdument de cette définition formelle et surtout utilise la notion de « question ».

Mathurin

pour moi oui,

2x+3x = 5x est une équation dont la solution dans R est R tout entier.

nicolas.patrois

Oui, il faut préciser l’inconnue ou les inconnues, sans quoi on peut se demander si (a+b)²=a²+2ab+b² est une équation, une identité ou que sais-je. C’est une égalité, certes, mais peut-être que a est donné, il faut trouver b, ou…

Et il reste le cas de l’équation de droite.

bmf

Bonjour,
Au collège, je donnais cette définition et les élèves la comprennent très bien
"Une équation est une égalité où au moins un des nombres est désigné par une lettre. Ces nombres écrits

en lettres sont les inconnues de cette équation. Résoudre une équation, c’est trouver toutes les
valeurs des inconnues pour lesquelles l’égalité est vérifiée."

bmf

Pour moi, une identité est une équation toujours vérifiée.

Dom

Le point important (qui n’est jamais fait dans 90% des cas du secondaire) est de préciser les inconnues. 

Je ne me moque pas car je n’ai pas souvent (jamais ?) vu dans un énoncé du supérieur :  
« résoudre l’équation différentielle $y’=6y$ d’inconnue $y$ »

Une bêtise (quoique) :  
$2\pi+3\pi=5\pi$ est une équation pour certains
mais pour d’autres, c’est plutôt :
$(x, 2\pi+3\pi=5\pi)$

bmf

On revient à la nécessité de passer par l'exemple pour bien faire comprendre la notion… et dans ton cas, la façon dont tu définis 𝜋…

bmf

Avant cette notion, il y aura forcément besoin de définir le calcul littéral et la notion de variable et de constante.

Dom

« Toujours vérifiée » cache un quantificateur et l’ensemble sur lequel on a l’égalité. 

Mais en effet, je comprends « identité » comme ça. 

bmf

oui, cela va de soi (je me place au niveau collège, il s'agit de nombres  ).

Foys

bmf a dit :

Avant cette notion, il y aura forcément besoin de définir le calcul littéral et la notion de variable et de constante.

La véritable distinction qui existe entre lettres en maths n'est pas celle entre "constante" et "variable", mais celle entre lettre liée et lettre libre (dans telle ou telle expression : par exemple la lettre $x$ est libre dans l'expression $ax^2+bx+c=0$ et liée dans l'expression $\{x\in \R \mid ax^2+bx+c=0\}$. La première expression parle de $a,b,c$ et $x$. Mais la deuxième parle de $a,b$ et $c$ seulement, de plus cette dernière est identique à $\{y\in\R \mid ay^2+by+c = 0\}$).

Soc

Merci pour vos réponses.

Pour ma part j'ai un problème avec les "égalités non vérifiées". Si le symbole ne signifie plus que les deux membres sont égaux on perd en signification... (je sais que Foys et les autres logiciens me regardent de travers quand j'écris ça). Si l'on autorise les égalités à ne plus être vérifiées, alors en toute rigueur on devrait systématiquement écrire "est vérifiée" quand elles le sont, voila de quoi devenir fou! Je passe mon temps à dire aux élèves que les deux nombres de chaque côté du = doivent avoir la même valeur, et je ne tiens pas à ce qu'ils voient les choses autrement.

Quand j'aborde le chapitre j'écris par exemple au tableau "$3x-1 = 2x +7$" d'un côté et "$3x+2x=5x$" de l'autre et je demande aux élèves ce qu'ils en pensent sans plus de précision. Immanquablement ils finissent par me dire que la première égalité est vraie et la deuxième est fausse. Je leur dis ensuite que l'on fait un usage abusif du symbole = et je leur demande aussi de mettre le = des équations en rouge, pour le différencier d'une véritable égalité. J'aborde ensuite les équations comme Cyrano en disant que l'équation "$x^2-1=0$" est la question "Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $x^2-1=0$?" et que résoudre cette équation consiste à trouver toutes les solutions. J'essaye de leur faire considérer $x$ comme une variable plutôt que comme une inconnue et comprendre que l'on cherche à trouver ou placer le curseur pour obtenir une égalité.

biely

Je ne vais pas répondre à la question mais juste une remarque.
 Au collège on peut souvent voir ce genre de résolution d’équations (même en précisant l’inconnue):
3(x+2)=3x-5
3x+6=3x-5 (l’élève maîtrise  )
Et là souvent le bug même si l’élève sait qu’il faut soustraire 3x aux membres de gauche et de droite et que 3x-3x=0
On a droit à du $x=\frac{-5}{6}$  
Ou alors on a bien 6=-5 mais à la fin  $x=\frac{-5}{6}$
C’est avec ce genre d’exemple que l’on peut ’’casser les automatismes’’ et revenir à la ’’définition’’ d’une équation à la manière de Cyrano. 

Dom

Édit : je répondais à Soc sans avoir vu le message de Biely. 

Mais non, ce n’est pas ça le problème. 

Des équations sans solutions existent, ça signifie que l’égalité « est fausse ». 

Je pense aussi qu’il ne faut pas parler d’égalités vraies ou fausses. 

Pédagogiquement on peut toutefois tout se permettre mais dans les rédactions mathématiques, éviter tout cela me semble mieux. 

Quand on travaille sur des équations, on est dans l’idée « s’il existe un nombre $x$ tel que $g(x)=d(x)$, alors … ». Il n’y a dans ce contexte aucune « égalité fausse », il y a par contre des égalités.

Je préfère dire « on a l’égalité » que « l’égalité est vraie ». Même si l’un est une reformulation de l’autre. 

Dom

Je reprends autre chose. 

L’équation $x^2-1=0$ pour moi n’est pas « pour quelles valeurs… ? ». 

C’est « résoudre l’équation… » qui signifie « trouver les valeurs… ».

Pour moi, l’égalité toute seule, ne dit rien. 

La lettre d’ailleurs devrait être quantifiée pour tenter de l’interpréter.  

Soc

@Dom: Pour ton théorème fondamental, le but est tout de même d'avoir une équivalence, sinon tu as une condition nécessaire mais pas suffisante pour avoir une solution. Du coup il faut que ta fonction f soit injective.

@Lourran: Le particularité de partir d'un problème concret, c'est que généralement cela induit dès le début l'existence d'une solution. Du coup les élèves voient la résolution comme "trouver la valeur de x" et voient x comme un nombre fixe (ce qu'il peut être dans ce genre d'exercice). Je préfère plutôt qu'ils se disent: "Le nombre que je cherche vérifie l'équation $x+40 = 80$. Je résous l'équation et trouve tous les nombres qui la vérifient. Ah tiens il n'y en a qu'un, c'est donc celui que je cherche.". En procédant ainsi on peut s'adapter à tous les cas et l'on voit bien le nombre x comme une variable et non un nombre fixe.
@Mathurin: j'ai la même objection qu'avec Lourran, le concept d'inconnue présuppose l'existence. Comment gères-tu du coup une équation du style "$3x+1=3x+6$"? Dire à la fin qu'en fait l'inconnue n'existait pas?
@Foys: Tu as présenté cela à des lycéens?

Dom

Le théorème fondamental permet tout de même de nettoyer, normalement. Si la fonction n’est pas bijective, elle réduit les champs des solutions. 

Justement : on obtient des conditions nécessaires. 

Au collège, c’est toujours bijectif. 
La fonction est $t\mapsto t+a$ ou $t\mapsto t\times a$ (prenons $a\neq 0$ pour la bijectivité). 

Foys

Soc a dit :

@Mathurin: j'ai la même objection qu'avec Lourran, le concept d'inconnue présuppose l'existence. Comment gères-tu du coup une équation du style "$3x+1=3x+6$"? Dire à la fin qu'en fait l'inconnue n'existait pas?

@Foys: Tu as présenté cela à des lycéens?

Le concept d'inconnue ne présuppose pas du tout l'existence. Une inconnue est un artifice grammatical.

Je ne l'ai pas présenté à des lycéens mais ce genre de fil intéresse un public plus large. J'essaie d'apporter des réponses techniques à des questions qui en ont même si on ne dirait pas à première vue.

Je signale quand même que tous les jours des mathématiciens écrivent sciemment des choses fausses. Quelle est la dernière fois que vous avez fait un raisonnement par contraposition ou par l'absurde?

Exemple: $\sqrt 2$ est irrationnel.

La résolution de ce marronnier de compétition commence dans tous les livres y compris au collège par quelque chose comme "soient $p,q$ deux nombres entiers non nuls tels que $\sqrt 2=\frac p q$, personne n'en souffre et personne ne croit que l'auteur croit sincèrement que ces entiers existent puisque le but est de montrer que ce n'est pas le cas, pourtant l'incantation est belle et bien écrite noir sur blanc dans son texte.

Soc

@Dom: D'accord, c'était juste pour dire que le principe de la résolution n'est pas si simple car il faut vérifier à chaque étape que l'on ne perd pas de solution, mais aussi que l'on n'en ajoute pas. Expliquer que l'on peut additionner $x$ mais pas multiplier par $x$ n'est pas si simple.

Mathurin

Oui Soc, le nombre qui est la valeur de l'inconnue prend ses valeurs dans l'ensemble vide. Donc il n'existe pas de tels nombres.

L'inconnue prend ses valeurs dans un ensemble, si celui-ci est vide, il n'y a pas de solution.

Ce n'est pas parce qu'il y a une inconnue dans une équation (ou une inéquation) qu'il y a forcément une (ou des) solutions.

Le concept d'inconnue ne présuppose pas l'existence. Du moins selon moi.

Fin de partie

Est-ce que c'est judicieux de dire que l'identité (remarquable) $x^2-1=(x-1)(x+1)$ est aussi une équation dont l'ensemble des solutions est $\mathbb{R}$ ?

Foys

@Fin de partie seulement si tu précises qui est l'inconnue.

Soc

@ Foys, je sais qu'encore une fois le dialogue va être difficile. Je propose que tu demandes à un bon collégien de résoudre l'équation de Biely  $3(x+2)=3x-5$ (c'est drôle, je donne quasi la même), et que tu constates par toi-même les difficultés de compréhension (qui ne seront donc pas induites par mon incompétence vu que je ne connaitrai pas l'enfant en question). J'ai dans l'idée que tu remarqueras que le symbole = va interpeler/perturber grandement l'élève en particulier s'il se retrouve à écrire $6=-5$.

Quand on fait un raisonnement par l'absurde on annonce clairement la couleur au début que l'on ajoute une donnée éventuellement fausse. Je milite juste pour que l'on fasse de même avec une équation et qu'il soit plus clair que ce = puisse ne pas l'être.

Résolvons "5x+4=x". Je substitue 5x+4 par x puisqu'ils sont égaux. J'obtiens "x=x" donc tous les nombres sont solution.

Soc

@Mathurin Je suis d'accord que tu peux jongler et retomber sur tes pattes, mais cela me semble plus simple de voir $x$ comme une variable (d'ailleurs Foys devrait me soutenir plutôt que me taper dessus, parce qu'il me semble que son formalisme présente aussi plutôt les choses comme ça).

Mathurin

Soc, le problème est-il réel si on commence par préciser: "On cherche les valeurs de l'inconnue x telle que l'équation suivante est vérifiée."

puis à la fin: "Cette équation n'est jamais vérifiée, donc il n'y a pas de valeurs de l'inconnue x qui vérifient cette équation."

Dom

Les collégiens ne sont pas habitués aux raisonnement qui conduisent à « donc 0=1 ». 

Ce n’est pas une difficulté en soi, mais ils ne le voient jamais. Ça ne veut pas dire qu’il ne faut pas en parler, c’est juste qu’il y a une tonne de choses à évoquer et que celle-là, bon, elle passe à la trappe.  

Rien que le raisonnement :  
si j’ai cette égalité 
alors 
alors 
alors 
n’est pas si simple a mettre en place. 

Il suffit de voir comment au lycée ils écrivent des égalités à la suite des autres, sans aucun lien entre elles. 

La raisonnement simple qui avait lieu en géométrie a disparu. 

Il n’existe quasiment plus aucun raisonnement en tant que tel. 

Tout ça pour dire que c’est difficile car ils n’ont aucun référentiel de « logique élémentaire » pour travailler.  

Soc

@Mathurin: Non. Mais quand on n'écrit pas cette phrase ou l'équivalent systématiquement, alors oui. Du coup utiliser un autre symbole que = résout le problème. Cela permet aussi de mieux gérer la substitution dans les équations.

lourrran

Je pense qu'il y a une évolution dans les équations. 
- L'opération à trous, c'est une équation, basique, l'inconnue apparaît une seule fois dans l'équation, et on ne piège pas l'élève, il y a une solution unique.
- proposer des équations où il y a une seule solution.
- Bien marquer le coup, en disant bien que jusque là c'était trop facile, et proposer d'autres équations. Des équations sans solutions, des équations avec plusieurs solutions, des équations avec une infinité de solutions.

Je pense que leur rappeler les opérations à trous, c'est un moyen de leur dire : ok, le mot 'équation' est un mot nouveau, mais le concept, vous l'avez déjà largement manipulé. Pas de panique.  Avant, c'était $?+8=12$, maintenant, le même exercice est présenté $x+8=12$, et $x$, c'est l'inconnue.

Vassillia

Bonjour,
Je ne m'étais jamais posée la question et en la lisant la définition de Foys pour une équation me convient tout à fait par contre j'imagine bien pourquoi ça peut coincer chez l'élève moyen de collège.
Il y a le = qu'il écrit de lui même par exemple quand il développe qui doit être vrai tout le temps sinon c'est qu'il s'est trompé
Il y a le = de l'énoncé imposé par le prof qui consiste à résoudre l'équation
Une idée qui vaut ce qu'elle vaut (c'est à dire peut-être pas grand chose) mais pourquoi ne pas juste rajouter un point d'interrogation sur le = venu d'un énoncé que ce soit pour résoudre une équation ou bien faire un raisonnement par l'absurde. Le lien avec l'étape précédente est facile à faire d'après ce que dit lourrran
Et à la fin l'élève peut répondre assez naturellement oui tout le temps, oui si et seulement si ..., non jamais.

Dom

Oui. 

Il y a un gros danger sous-jacent. 
1) À force d’offrir des petites équations qui n’ont qu’une solution, on casse l’idée qu’il peut en exister plusieurs. 

2) Cela met dans la tête des « bons en calcul » qu’il faut juste trouver quoi mettre dans le trou. 

Cela devient « trouver une condition suffisante permet de résoudre l’équation ».
Alors que la grande idée est plutôt de trouver des conditions nécessaires.   

Il faut déconstruire cela, et ça c’est très difficile. 

Je ne sais pas si c’est un passage obligatoire. 

Ça vient aussi de la définition de la soustraction, première opération (addition) à trou qui ne possède qu’une seule solution dans les cas présentés (même dans $\mathbb N$). 

Soc

@Vassilia: Oui, c'est ce que je fais, en mettant effectivement un point d'interrogation au dessus ou en l'écrivant en rouge. De fait les élèves arrivent assez facilement à résoudre la partie technique de l'équation, mais quand il faut interpréter un "1=6" ou un "0=0" à la fin, alors là seuls quelques uns y arrivent.

Vassillia

S'ils n'y arrivent pas c'est peut-être parcequ'ils ont perdus en route la notion de question quand la variable a disparu, c'est pour ça que je pensais à un point d’interrogation. N'importe quel élève normalement constitué va répondre oui à la question 0=0 ? et non à la question 1=6 ? Enfin espérons sinon c'est pas gagné.
Ensuite, transformer le oui et le non en l'ensemble des solutions correspondant (je ne sais pas comment vous le notez au collège) ne me parait pas trop difficile quand même, si ?

lourrran

Quitte à mettre un point d'interrogation, je le mettrais sur l'inconnue. Je suis ARCHI convaincu de ça.

? sur le signe égal, je le lis : x+4 est il égal à 8 ?
? sur la lettre x, je le lis : pour quel(s) x  a-t-on x+4=8 ?
D'ailleurs, dans les opérations à trous (version ultra-basique de l'équation) , on a parfois une case avec un symbole ? à l'emplacement de l'inconnue.

Vassillia

Mais le problème, c'est qu'on ne sera pas plus avancé quand la variable va disparaitre car le point d'interrogation va disparaitre aussi et en plus c'est casse-pied s'il y a plusieurs occurrences de la variable.
Moi x+4 est-il égal à 8 ? C'est exactement le message que je voulais envoyer avec comme réponse attendue oui si et seulement si x=4 et cela s'adapte pour les autres cas décrits précédemment où on répond oui ou non sans condition.
Ceci dit pour les cas avec plusieurs variables, on pourrait rajouter la variable demandée au dessus du égal également pour lever toute ambiguïté, tu as raison.

Dom

Le point d’interrogation dans l’opération est remplacé par une lettre. Ok. 

Par contre je ne pense pas qu’il faille changer ce symbole « = ». 

N’est-il pas le même que le « = » classique ?
1) quel que soit $a$, $a+a=2a$. 

2) existe-t-il un nombre $a$ tel que $2+a=5$ ?
3) résoudre l’équation $a^2=9$ d’inconnue $a$. 

Pour le 3), on commence par dire. 

Supposons qu’il existe un nombre $a$ tel que :  
$a^2=9$. 

C’est bien le même « = ». 

Avec les quantificateurs, il n’y a pas à deviner des choses. 

Dites-moi si je passe à côté de quelque chose. 

Vassillia

Il y a une différence fondamentale de raisonnement entre :
1)Montrer que quelque soit $a, (a+1)(a-1)=a^2-1$
2)Résoudre l'équation $a^2=9$ d'inconnue $a$

1) L'élève va partir de la première partie de l'égalité, va développer, réduire et va retomber (si tout va bien) sur l'autre partie de l'égalité. Pas besoin de changer quoi que ce soit
2) L'élève va partir directement de l'égalité et va raisonner par équivalence. Donc pour moi, il est pertinent de rappeler que la question porte sur "quand est-ce que l'égalité est vérifiée ?". Cela autorise plus facilement à écrire des choses fausses comme est ce que 0=1 ? Et cela permet d'y répondre et de conclure.

Dom

Je suis d’accord que le raisonnement est différent. 

Mais ce n’est pas « quand est-ce que l’égalité est vérifiée ? ». 

C’est « si j’ai cette égalité, qu’est-ce que je peux écrire d’autre comme égalité ? » (en appliquant des théorèmes). 

Vassillia

D'accord mais pour traduire "si j'ai cette égalité" pourquoi ne pas mettre un point d'interrogation sur le égal pour rappeler que c'est une hypothèse justement ?

 Et quand tu dis qu'est-ce que j'ai d'autre comme égalité ? Oui certes, c'est la méthode de raisonnement que doit faire l'élève par équivalence, mais pas le but, tu ne veux pas n'importe quelle égalité tu en veux quand même une qui isole la variable et qui correspond quand même à l'idée de "quand est-ce que l'égalité est vérifiée ?" pour moi. Si je t'écris x+2=4 <=> x+3=5 je corresponds à ta demande mais tu ne vas pas me mettre les points je parie.

Pour te convaincre que c'est le moyen, mais pas le but, imagine que je te demande de résoudre x+2=4 d'inconnue x dans l'ensemble {1;2;3}. Je pourrais très bien raisonner en testant toutes les valeurs et en ne gardant dans l'ensemble solution que celles qui vérifient l'égalité, ce serait une méthode de résolution légitime.

nicolas.patrois

Pour l’égalité à trou, en fait, le problème arrive quand il y a plusieurs trous. Se pose alors la question de savoir si les nombres sont les mêmes dans les trous ou non ; d’où l’intérêt décrire une lettre à la place, comme ça on sait si oui ou non, les trous cachent nécessairement la même valeur ou si c’est contingent.

Pour l’identité A=B, on a quand même pas mal de méthodes pour la vérifier : bidouiller A pour arriver à B, bidouiller B pour arriver à A, bidouiller A et B pour arriver à C, bidouiller A−B pour arriver à 0.

Foys

@Soc

Résoudre une équation consiste à livrer non pas des nombres mais un ensemble. Lorsque cet ensemble est fini, on commet l'abus de langage consistant à l'assimiler à ses éléments. Ainsi la solution de $(x,6x-1=11)$ est $\{2\}$ mais on préfère dire que c'est $2$. Il ne s'agit pas de ne pas faire cet abus de langage mais d'en avoir conscience. A la rigueur, ton exemple en montre les limites.

Il n'existe aucun nombre $t$ tel que $3t+5=3t+6$ (sans quoi on a $5=6$). Donc la solution de l'équation $(x,3x+5=3x+6)$ est l'ensemble vide, i.e. $\{x\in \R \mid 3x+5=3x+6\} = \emptyset$.