Développement limité

gerard0

Le premier de la classe c'est OS ? PLM, tu devrais penser un peu avant d'écrire !

Rien n'oblige OS à venir ici.

troisqua

@gerard0 : OShine bénéficie de cours gratuits sur ce site. Certes c'est au prix d'insultes, de mépris, et d'échanges qui ne font pas honneur à ce forum, mais pour lui c'est très bénéfique. Rien ne l'oblige donc mais l'essentiel le motive. Par contre, qu'est-ce qui oblige, ceux qui lui répondent, à le faire ?

gerard0

La méconnaissance et l'envie d'aider. je sais, j'ai fait ça avec OS il y a 4 à 5 ans, sur un autre forum.

Je conteste par contre ton "pour lui c'est très bénéfique". Par expérience. C'est ce qu'il croit, mais il se comporte comme une pie : Il accumule des choses qu'il pense utiles, des corrigés d'exercices et de sujets de concours. Et comme l'EN lui a donné, sous prétexte de Covid, un capes sans vérifier qu'il savait faire des exercices de lycée, il a été confirmé dans son comportement malsain.

Pour ma part, je n'interviens plus (ou ultra-rarement) sur ses questions. Et toi ? Pourquoi ces interventions à répétition dont tu sais d'avance qu'elle ne changeront pas le comportement ni de ceux qui croient aider, ni de ceux qui se moquent ?

Cordialement.

troisqua

Quand je dis que pour lui c'est bénéfique, je dis bien "pour lui" au sens "selon lui".

Mes interventions c'est pour rappeler que ce n'est pas que le Juke Box qui est pénible, c'est aussi ceux qui mettent des pièces dedans.

Je ne sais pas à l'avance si elles ne serviront à rien. Si elles servent à deux ou trois personnes, à réfléchir sur leurs interventions, elles n'auront pas été inutiles à mon goût.

Zgrb

Malheureusement, il faudrait surtout un coup de pouce (ou de botte) de la modération pour que le cercle se brise !

mav1

C'est ce qui a été fait sur un autre site...cela devenait infernal

df

Une sorte de dépendance archi-malsaine s’est installée entre la victime et ses harceleurs en ligne ! Dans un fil de OS, quelqu’un a pu poster une image du film « Le dîner de con ». Un autre avait estimé qu’il n’avait pas les facultés d’un chimpanzé. On n’est plus dans le recadrage pédagogique mais dans l’insulte.
La solution serait de fermer le compte de OS comme ce fut le cas avec Pablo machin. Le rapport au virtuel devenant pathologique pour certains, une psychanalyse s’impose mais elle ne doit pas se faire en public et encore moins sur un forum d’algèbre ! 

troisqua

@df : entièrement d'accord. Il y a davantage de lynchage que de mathématiques dans tout ça. Pire, ce qui reste sur le plan mathématique et qui pourrait être utile, est indigeste tellement c'est pollué.

PetitLutinMalicieux

Son développement est limité. D'où le titre du fil de discussion.

(Désolé, je n'ai pas pu m'empêcher)

raoul.S

df a dit :

Dans un fil de OS, quelqu’un a pu poster une image du film « Le dîner de con ». Un autre avait estimé qu’il n’avait pas les facultés d’un chimpanzé. On n’est plus dans le recadrage pédagogique mais dans l’insulte.

Ça c'est ce qui arrive lorsque la protéine sort de son sous-forum géométrie. Il faudrait les signaler ces post...

Homo Topi

Je pense que la modération devrait intervenir pour punir/bannir ceux qui lâchent de vraies insultes. Je pense aussi qu'elle le fait, quand c'est suffisamment explicite. Il ne faudrait pas qu'on déroge à la règle juste pour OShine sous prétexte que "il l'aurait bien cherché", ça ne serait pas correct. Sachez vous modérer vous-mêmes, si vous en êtes à insulter quequ'un sérieusement pour ses mathématiques, vous faites partie du problème. Ne cliquez pas sur "publier la réponse". Fermez le fil d'OShine et lisez autre chose.

Personnellement, j'ai arrêté de répondre à ses questions mathématiques. Presque tout le monde (mais pas lui) a constaté que c'est inutile. Je lui ai proposé mes propres questions, parce que je sais que ça l'aiderait, libre à lui de ne pas accepter cette aide. C'est son problème.

Mais avant tout je reste calme. Le gars bosse énormément, on ne peut pas le lui enlever. Il passe beaucoup de temps sur ses maths. Mais il a un niveau faible et s'attaque à des choses trop dures pour lui, donc il n'arrive pas à produire grand-chose tout seul. Je m'intéresse beaucoup à la psychologie ces derniers temps, je ne sais pas s'il a un trouble mental/développemental ou non, et ce n'est pas à moi de lui diagnostiquer ça. Je constate simplement qu'il ne fonctionne pas "normalement" (au sens mathématique du terme, je n'émets pas de jugement). Donc je m'adapte.

Si vous n'êtes pas capables de rester calme face à lui, alors allez-vous en, respirez un coup, et passez à autre chose. Ceux qui arrivent à rester calmes, si vous pensez l'aider en répondant à ses questions, on ne peut pas vous en empêcher (sauf si la modération bannit OShine ou ceux qui lui répondent), seulement constater que ça ne produit pas de résultats. Ceux qui veulent l'inciter à changer sa façon de faire, pareil, on ne peut pas vous empêcher de lui parler. Mais faites-ça dans le respect. Derrière le pseudonyme OShine, il y a une personne. Si vous avez besoin d'être toxiques sur internet, débranchez.

OShine

C'est dommage on s'est éloigné de la question de l'exercice. 

Homo Topi

Dis-toi que c'est peut-être pour une bonne raison.

OShine

Je ne  comprends pas pourquoi en faisant le DL du numérateur on ne trouve pas la même chose que le corrigé. 

Dom

Bon, là en l’occurrence, on a un « dernier de la classe » qui déclare implicitement mais assez clairement « je revendique être la tête de turc de la classe ». 

Du coup, cyniquement, c’est pratique. 

La tête de truc, en général, ça n’embête qu’elle. 

Évidemment qu’on ne va pas s’en satisfaire.  

Mais là, c’est tragiquement l’apothéose car la tête de truc est consentante. 

Que demande le peuple malsain ?

Alexique

@troisqua : je n'ai pas à me justifier ni à toi ni à personne, sur le choix des topics où j'interviens (créateur du topic, aisance sur le sujet, raisons diverses et variées) ou sur ce que je dis tant que ce que je dis, mathématiquement, est correct, et que c'est à but instructif/éducatif et que je reste poli. On a déjà eu un long topic à propos d'OS, pas question de recommencer ici. La solution la plus simple était de bannir OS, la modération n'a pas considéré que c'était nécessaire donc la "justice" numérique a tranché. OS s'est engagé à parler un peu moins à l'emporte-pièce de sujets non mathématique et c'est la seule victoire obtenue. Tu ne me feras pas culpabiliser si c'est ton but. Si la situation est ce qu'elle est, c'est parce que la modération n'a pas eu le courage, sûrement sous prétexte d'un mouvement "pas de vague" ou d'une liberté totale, de le bannir. Ben oui, il n'a insulté personne, il ne fait pas de pub pour Apple, donc il n'a enfreint aucune règle dure du forum donc il n'est pas punissable, ça doit être un truc dans le genre. Maintenant, une personne qui ne met aucune bonne volonté dans ses réponses, qui ne suit pas les conseils donnés et qui est en échec constant doit elle être bannie ? Si ça peut la faire réfléchir, sûrement. Ca serait une sanction à visée pédagogique en quelque sorte. Quand en entreprise, on adopte cette attitude, on est viré. Quand en classe, on adopte cette attitude, on rate son examen ou son diplôme. Quand en société on adopte cette attitude, on est exclu. Donc pourquoi ne serait-il pas banni ?

Espérer que tous les gens qui lui répondent arrêtent de lui répondre est illusoire, c'est un forum de maths, où les gens répondent à des questions de maths. Tout comme espérer qu'il change d'attitude est illusoire. C'est le même problème que le changement climatique, on sait tous qu'en allant vivre dans une grotte, on fait ce qu'il faut pour la planète. Le fait-on pour autant ? Est-ce si simple ? Bien sûr que non. En ce sens-là, nous ne sommes pas vertueux et je ne suis pas fier non plus. Mais je peux espérer qu'un jour, la modération prendra cette décision de le bannir, car comme les autres qui lui répondent, j'essaye de mettre en évidence son laxisme, sa irrespect des conseils et des réponses, sa fainéantise, etc... Pourquoi un autre forum a-t-il pris la décision de le bannir et pourquoi a-t-il tous les droits ici ? 

J'avais arrêté de lui répondre pendant longtemps avant de reprendre, plus en analyse, et quand j'estime apporter quelque chose qui n'a pas été dit (comme là, avec ma solution "sans DL").  

Dom

Déjà écrire « $\sum o\left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)$ converge » avec un tel niveau de maîtrise, moi je me méfie. 

Sait-on au moins écrire proprement ce que cela signifie ?
Encore une fois, s’est-on posé la question « est-ce que j’ai bien compris ce que ça veut dire » ?
Je suis sûr que non !

Quand on néglige les quantificateurs, c’est presque hilarant de voir un tel truc écrit. Ça en cache davantage… 

lourrran

Tu ne trouves pas comme le corrigé,
option 1, le corrigé est faux,
option 2, comme d'habitude, tu t'es planté, parce que tu n'a pas le niveau.

C'est Roland-Garros en ce moment, avec des grands champions de Tennis. 99% des passionnés de tennis regardent, et savent pertinemment que leur place, c'est comme SPECTATEUR, pas comme participant. 
Quand toi, tu auras compris que sur des trucs comme ça, ta place, c'est comme SPECTATEUR, pas comme participant, tu auras enfin compris un truc.

Tu devrais essayer des grilles de sudoku. C'est un jeu où il n'y a pas de cours à apprendre, pas de truc au programme ou hors-programme, mais où il faut réfléchir (ce n'est pas un gros mot, c'est une activité courante pour certains).  Et il y a d'autres jeux plus ou moins similaires. Les règles du jeu sont toujours très simples. Il faut juste réfléchir.
C'est vachement bon pour les neurones, c'est une gymnastique très efficace, y compris pour progresser en maths ensuite.

Soit tu t'en sors, et tu réussis à compléter des grilles de niveau 'avancé' , soit tu n'y arrives pas. Et dans ce cas, pose-toi les bonnes questions.

Dom

Avec le Sudoku j’ai une méthode imparable. 

Par exemple s’il ne manque que 5 cases :  

J’essaye 11111. 
Dès que j’ai une incohérence. 

Je tente 11112. 

Puis 11113. 

Etc.  

Jusqu’à 99999. 

Voilà. Imparable. 

C’est trop facile. 

Homo Topi

@Dom : Un DL, visiblement.

Que je résume les choses.

@OShine : tu te proposais donc d'étudier la série $\displaystyle \sum (-1)^n \dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}}{n^{\alpha}}$ "pour voir si comprends la technique des $O$". Et là, tu t'es déjà set up for failure. Certes, il faut refaire un exercice pour travailler la technique, mais l'exercice doit être adapté ! La série ici est clairement alternée, on est d'accord sur ça j'espère. On n'a en principe que deux outils, la convergence absolue ou le théorème des séries alternées. @Alexique t'orientait directement vers la deuxième option, et visiblement, tu ne l'as pas compris (ta réaction était "on veut étudier la série", oui, justement) : le théorème des séries alternées a pour condition que $|u_n|$ tend vers $0$ en décroissant, d'où son message. On n'a absolument pas besoin d'un DL pour ça, un DL ça sert quand on ne sait pas calculer la limite directement ou quand le calcul de limite ne suffit pas (cf mon laïus sur Raabe-Duhamel dans l'autre fil, si tu te souviens). Or, ici, avec une astuce "de type lycée" comme on dit, la limite du terme général vient facilement, donc, pas de DL qui tienne. Essaie de retenir ceci : un bon matheux, ça bosse le moins possible, si un truc n'est pas nécessaire, c'est bête de s'y forcer.

Question subsidiaire, quand on a compris tout ce bazar, ta série converge ou non ?

Au lieu de choisir toi-même un exercice, demande plutôt que quelqu'un ici t'en propose un qui se fait très bien avec des $O$, c'est garanti qu'on t'en donnera un.

Homo Topi

Tiens, j'essaie d'en inventer un qui m'a l'air de marcher : nature de $\displaystyle \sum \ln\bigg(1 - \dfrac{\sin n}{n^2} \bigg)$

OShine

Mais où est l'erreur ici ?

Cyrano

Techniquement, dans ton encadré, tu devrais rajouter $O(1)$ à côté du premier terme. 

Homo Topi

A moins que je sois bourré, dans la troisième ligne, tu fais une petite faute dans le DL de $\sqrt{1  + \dfrac{1}{n}}$.

OShine

Cyrano je n'ai pas compris.

Homo Topi j'ai oublié un $o(1/n^2)$. Mais ce ne change pas la conclusion. 

Alexique

$u_nO(v_n) = O(u_n v_n)$. Tu écris $u_nO(v_n)=u_n v_n + O(u_n v_n)$... 

Homo Topi

Quand moi je fais tes DL :

$\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} - \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} = \bigg[1 + \dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{8n^2}  + o\bigg(\dfrac{1}{n^2}\bigg)\bigg] - \bigg[1 - \dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{8n^2}  + o\bigg(\dfrac{1}{n^2}\bigg) \bigg] = \dfrac{1}{n} + o\bigg(\dfrac{1}{n^2}\bigg)$

Donc $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha - 1/2}} \bigg( \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}\epsilon_n\bigg) = \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha + 1/2}} \bigg( 1 + \dfrac{1}{n}\epsilon_n\bigg)$ avec $\epsilon \longrightarrow 0$

La parenthèse est bien un $O(1)$, mais pour affirmer mieux, il faut pousser le DL plus loin.

OShine

D'accord merci ! Je refais le DL plus loin.

Amédé

Ta première ligne avant l'encadré te donne $u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\alpha+\frac{1}{2}}}+o\left(\dfrac{1}{n^{\alpha+\frac{1}{2}}}\right)$

proposition ( à démontrer) si $f=o(g)$ alors $f=O(g)$.

Homo Topi

Dit comme ça, c'est mieux.

OShine

Ça fonctionne maintenant.

OShine

Amede toute suite convergente est bornée donc un petit p est automatiquement un O.

troisqua

@Homo Topi  : dans ton exemple $\left|\ln\left(1-\frac{\sin n}{n^{2}}\right)\right|\underset{}{\sim}\frac{\left|\sin n\right|}{n^{2}}$ qui est le terme général d'une série comvergente (car majorée par $\frac{1}{n^{2}}$). Pas besoin de $o$ ou de $O$.

Homo Topi

En étant moins bête que moi, regarde ce qu'il te disait :

Quand tu as la forme $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha - 1/2}} \bigg( \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}\varepsilon_n \bigg)$, tu as : $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha + 1/2}} + \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha + 3/2}}\varepsilon_n $

Le deuxième morceau est un  $o$, un grand $O$, c'est au choix selon ce dont on a besoin.

troisqua

Tu demandes la nature d'une série dans une discussion sur les o et les O, et ton exemple ne nécessite ni o ni O. Donc je ne comprends pas. Je laisse tomber ce fil, je crois qu'il n'est définitivement pas pour moi

OShine

@Homo Topi ok.

lourrran

Homo Topi, tu n'es pas bourré.

OShine a recopié ton calcul, sans même voir son erreur. 
La courbe de la fonction racine carrée est en-dessous de la tangente, au point x=1. le DL est donc de la forme $f(x)=f(1)+ f'(1)(x-1) + un.truc.négatif$.  Et donc le $+\dfrac{1}{8n^2}$ était forcément faux.

Je suis bien incapable de calculer un DL, j'ai complétement oublié, mais un truc comme ça, c'est quand même la base de ce qu'il faut comprendre quand on parle de DL.

Homo Topi

@OShine j'en ai une pour toi ! Sortie du Gourdon, pas trop dure.

Soit $u_n =  \dfrac{n^ne^{-n}\sqrt{n}}{n!}$ pour $n  \geqslant 1$. 

1) Donner la nature de la série de terme général $v_n :=  \ln \bigg( \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\bigg)$. Indication : il y a des $O$ dans le corrigé

2) En déduire qu'il existe $C>0$ telle que $n! \sim C\sqrt{n}n^ne^{-n}$.

Pour la culture, le reste de l'exo (la partie difficile) consiste à déterminer $C$. L'équivalent est la formule de Stirling, tu en as sûrement déjà entendu parler.

OShine

@lourrran si tu es capable de calculer un DL, ce sont juste des formules à appliquer.
@Homo Topi ok merci, même si le Gourdon me fait peur.
Q1) Je trouve après calculs que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = (1 +1/n)^n e^{-1} \sqrt{1+1/n}$
Donc $\ln (\dfrac{u_{n+1}}{u_n}  ) = (n+1/2) \ln (1+1/n) -1$
Un DL à l'ordre $2$ de $\ln (1+x)$ donne après simplifications $\boxed{\ln (\dfrac{u_{n+1}}{u_n}  )  = - \dfrac{1}{4n^2} +o(1/n^2)= O(1/n^2)}$
La série converge absolument par comparaison à une série de Riemann, ainsi, elle converge.

OShine

Je n'ai aucune idée de comment faire la question $2$.

Homo Topi

OK pour le début. Pour faire du recopiage de corrigé : dans le bouquin, il fait le DL $\ln \bigg( 1 + \dfrac{1}{n} \bigg) = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} + O\bigg(  \dfrac{1}{n^3}\bigg)$, du coup avec le $n$ de l'autre parenthèse il reste un $O\bigg(  \dfrac{1}{n^2}\bigg)$.

L'idée c'est qu'on peut réécrire les $o$ comme des $O$ quand ça nous arrange, un $O$ c'est moins restrictif qu'un $o$ alors quand un $O$ suffit, autant ne pas s'embêter avec un $o$.

Pour la question 2, c'est un argument théorique tout bête de début de cours. Que vérifie toujours le terme général d'une série convergente ?

lourrran

Oui, ce sont des formules à appliquer. Si je lis un cours, je vais retrouver les formules, et je saurais me débrouiller. Probablement. Ce que je veux dire, c'est que j'ai de très lointains souvenirs de mes cours sur les DL, et s'il y a une chose qu'il me reste, c'est l'interprétation 'visuelle' de ce que c'est qu'un DL. Un point, la dérivée, la dérivée seconde, la position de la courbe par rapport à telle droite ou telle portion de parabole, et donc le signe du terme suivant.

Toi, tu baignes dedans, tu alignes des calculs, mais tu ne sais pas ce que tu calcules.

OShine

Je n'ai pas fait comme dans ton livre, mais j'obtiens le bon résultat.
Ok merci. On fait le lien suites-séries. On a une série télescopique car $\ln (u_{n+1} /u_n)= \ln (u_{n+1})- \ln (u_n)$.
La série converge donc la suite $( \ln (u_n))$ converge vers un réel $K$.
Ainsi, il existe un réel $K$ tel que $\ln (u_n) \longrightarrow K$. Par continuité de l'exponentielle, on a $u_n \longrightarrow e^K$.
Donc $\boxed{ n ! \sim C \sqrt{n} n^n e^{-n}}$ avec $C= e^{-K} >0$

OShine

@lourran ce que je sais c'est qu'un DL est une approximation d'une courbe par un polynôme au voisinage d'un point et que plus le degré du polynôme est grand plus la précision est élevée. 
C'est sûr que tu as plus de recul sur moi sur ces notions.
Si on dispose d'un DL à l'ordre $p \geq 2$ : $f(x)=a_0 +a_1 (x-x_0) +a_p (x-x_0)^np +o ((x-x_0)^p)$ alors la graphe de $f$ admet une tangente qui est la droite d'équation $y=a_0+ a_1 (x-x_0)$ et au voisinage de $x_0$ le signe est donné par le signe de $a_p (x-x_0)^p$.

Homo Topi

Tu es sûr de ce que tu racontes ?

Tu peux me donner une série convergente dont le terme général tend vers, par exemple, $1$ ?

J'ai mal lu, mea culpa

Amédé

$\sum\limits_{k=0}^{n}{\ln\left(\dfrac{u_{k+1}}{u_{k}}\right)}=\ln\left(\dfrac{u_{n+1}}{u_{0}}\right)$ que peut-on en déduire sur la suite $u_{n}$?

OShine

Le terme général d'une série convergente tend vers $0$.
Mais j'ai utilisé un autre résultat de cours : si la série télescopique $\sum (v_{n+1}- v_n)$ converge si et seulement si la suite $(v_n)$ converge.
@Amédé on a $u_{n} \longrightarrow u_0$

Amédé

En allant chercher le Gourdon je remarque que c'est la solution que tu donnes OS.

OShine

@Amédé je n'ai pas le Goudon le niveau X ENS est trop élevé pour moi. J'ai juste relu le cours sur les séries et j'ai eu cette idée. 

Homo Topi

Tu as essentiellement résolu un exercice du Gourdon. Le calcul de la constante $C$ est guidé : on indique d'utiliser une formule donnée (formule de Wallis) qui contient des factorielles, il n'y a qu'à calculer, insérer l'équivalent, et on trouve la valeur de $C$.