Puissances de quatre
Soit $n$ un entier qui en base $10$ s'écrit $\overline {a_ka_{k-1}\dots a_1 a_0}$.
On pose $E_n=\{\overline {a_k a_{k-1}}; \,\overline {a_{k-1} a_{k-2}}; \,\dots ;\,\overline {a_2a_{1}};\,\overline {a_1a_{0}}\}$, $E_n$ contient $k$ nombres de deux chiffres.
$f(n)$ se calcule en ajoutant le nombre d'éléments de $E_n$ qui sont supérieurs ou égaux à $25$ avec le nombre d'éléments de $E_n$ qui sont supérieurs ou égaux à $50$ et avec le nombre d'éléments de $E_n$ qui sont supérieurs ou égaux à $75$ (on peut compter plusieurs fois le même élément).
Par exemple $f(2875)=7$ ; $f(100003)=0$ ; $f(1789)=6$ ; $f(4^8)=7$.
Calculer $\displaystyle \sum _{i=0} ^{\infty}\dfrac {f(4^i)}{4^i}$.
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Depuis deux jours que je tente de fabriquer une somme télescopique !!
-- Schnoebelen, Philippe
Je n'ai pas du tout utilisé l'identité d'Hermite mais j'ai cependant une démonstration assez courte.
J'ai d'abord démontré $f(n)=\displaystyle\sum_{k\geqslant2}\left(\left\lfloor\dfrac{4n}{10^k}\right\rfloor-4 \left\lfloor\dfrac{n}{10^k}\right\rfloor\right)$ puis j'ai permuté les sommations pour obtenir un télescopage.
Avec $\left\lfloor\dfrac{1}{a}\left\lfloor\dfrac{n}{b}\right\rfloor\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n}{ab}\right\rfloor$ pour $a$ et $b$ dans $\N^*$ on obtient la formule que j'ai donnée plus haut pour $f(n)$.