Automorphisme externe de l'univers
Bonjour à tous,
Voici mon problème. Soit $\mathcal{M}=(M,E)$ un modèle de ZFC. On appelle automorphisme de l'univers toute application $j:M \to M$ qui est bijective et qui satisfait $\forall x \forall y (x E y \Leftrightarrow j(x)Ej(y))$. Un tel automorphisme est dit interne s'il est définissable dans $\mathcal{M}$, et externe dans le cas contraire. Il est clair (par exemple par la borne de Kunen) que le seul automorphisme interne de l'univers est l'identité.
Mais j'ai lu quelque part que si $\mathcal{M}$ est non standard, alors il existe un automorphisme externe non trivial. Je précise ma terminologie. Si $\alpha$ est un ordinal, on dit que le modèle est $\alpha$-standard s'il n'existe pas, dans $\alpha^{\mathcal{M}}$, de suite infinie décroissante pour la relation $E$. Et un modèle standard est un modèle qui est $\alpha$-standard pour tout $\alpha$.
Mais ceci étant dit je ne sais pas comment construire un automorphisme externe. Mon idée est que si $\mathcal{M}$ est non standard, par définition il existe une suite $(\alpha_n)_{n \in \omega}$ vérifiant
$$\alpha= \alpha_0 \ni \alpha_1 \ni \alpha_2 \ni...\ni \alpha_n \ni \alpha_{n+1} \ni...$$
Mais maintenant je ne sais pas comment définir l'automorphisme.
A vrai dire je sais le faire dans le cas où $\alpha$ est un entier (non standard). Dans ce cas il suffit de poser $\alpha_n = \alpha -n$, puis de décréter que $j(\alpha)=\alpha-1, j(\alpha-1)=\alpha-2$ etc. Ensuite on définit inductivement $j$ par $j(y)=\{j(x) : x \in y\}$. Cette définition est cohérente puisqu'alors
$$j(\alpha)=\{j(\alpha-1), j(\alpha-2),...\} = \{\alpha-2, \alpha-3,...\}= \alpha-1,$$
et on y retrouve bien ses petits.
Mais ce raisonnement ne marche plus dans le cas général, à cause de la distance non égale à $1$ entre au moins un $\alpha_n$ et le $\alpha_{n+1}$ correspondant. (Même si $\alpha$ est successeur, au bout d'un moment on va tomber sur un ordinal limite, et là on sera coincés).
Quelqu'un a une idée ?
Merci d'avance
Martial
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Réponses
Sinon, tu peux pas faire la même chose en prenant un automorphisme quelconque de la partie "non standard de $\mathcal M$" ? Je m'explique : la propriété "$\mathcal M$ est non-$\alpha$-standard" est close vers le haut, donc si tu trouves un automorphisme non trivial de $\{\alpha \mid \alpha$ non standard $\}$ (je veux dire: automorphisme pour l'ordre induit par $E$), tu devrais pouvoir l'étendre aussi facilement que dans le cas d'un entier (enfin je ne sais toujours pas pourquoi c'est bien défini mais ça tu me le diras :-D ).
En particulier, il s'agit de prouver que cet ensemble totalement ordonné mais pas bien ordonné admet un automorphisme non trivial. Il est certainement sans extrêmités (il n'y a pas de plus petit ordinal non standard) et tout le monde a un successeur.
Soit $P$ cet ordre.J'appelle composante connexe un sous-ensemble $C$ de $P$ stable par successeur et prédécesseur lorsqu'ils existent, et minimal pour ces propriétés (i.e. les composantes connexes du graphe non orienté associé à $P$ pour la relation 'successeur'). Les composantes connexes partitionnent $P$. Une composante connexe admet un minimum, ou pas. Si elle admet un minimum, elle est isomorphe à $\mathbb N$, et sinon à $\mathbb Z$ (je te laisse prouver ça d'un ordre total à successeurs et connexe et sans maximum). Si tu as ne serait-ce qu'une composante sans minimum, tu as un $\mathbb Z$ et donc un automorphisme. En admettant que ma stratégie de plus haut marche, on a gagné.
Sinon, tu dois avoir une chaîne descendante infinie de composantes connexes isomorphes à $\mathbb N$. J'ai envie de les shifter, mais pas sûr que ce soit possible. Voyons voir. J'appelle $Q := P/$connexes l'ordre obtenu en tuant les composantes connexes de $P$. Il est toujours totalement ordonné, mais je me demande s'il a des successeurs. Bah si j'ai une composante connexe avec pour minimum $\alpha$, j'ai l'impression qu'elle est définissable dans $\mathcal M$ par $\{\alpha +n, n\in\omega\}$, de sorte que la composante connexe de $\alpha + \omega$ lui succède.
Du coup on peut faire de même avec $Q$ et itérer : ou bien on trouve un $\mathbb Z$ dans $Q$, et on a gagné, ou bien... Bon, on est un peu coincé pour itérer parce que rien ne nous dit que ça doit aboutir. Je crois quand même (intuitivement) qu'il devrait y avoir un automorphisme, ou bien tu vas être bien fondé mais j'ai pas d'argument. Désolé pour un long texte avec finalement peu d'utilité
Ce que je trouve en ligne ça a plutôt l'air de parler d'extensions de $\mathcal M$.
Par ailleurs j'ai trouvé des slides où on nous dit "Automorphisms of $\mathcal M$ are entirely determined by their action on $Ord^\mathcal M$". ça a le mauvais goût d'être imprécis (est-ce qu'on nous dit que $\sigma \mapsto \sigma_{\mid Ord^\mathcal M}$ est injectif, ou bijectif ?), mais ton idée initiale n'est peut-être pas à jeter, et peut-être manque-t-il juste une astuce pour étendre un automorphisme de $Ord^\mathcal M$ à $\mathcal M$ tout entier (ça ne paraît pas abracadabrantesque, même sans bien fondation - de toute façon, si t'es bien fondé, les automorphismes de $Ord^\mathcal M$, c'est mort - à ne pas confondre bien sûr avec des endomorphismes)
(et ensuite pour trouver un automorphisme de $Ord^\mathcal M$, mais ça ce sera plus tard)
Pour ton idée précédente, l'intersection des $C_\alpha$ est vide puisque les composantes connexes sont deux à deux disjointes