Axiome de Lusin again
Bonjour, j'avais il y a longtemps posté sur ce sujet mais les réponses ne m'ont pas vraiment pleinement satisfait. Voilà : dans mon livre de sup/ spé de Gaston Casanova, Il écrit "Théorème. Toute partition de E (ensemble quelconque) définit une relation d'équivalence." Après une courte démonstration il ajoute : "C'est une autre question que l'étude de la réciproque : une relation d'équivalence R définit-elle une partition de E ?". Il donne alors un exemple : "la relation a - b = r (rationnel) est d'équivalence... Les rationnels forment une classe, les autres classes contiennent un ensemble d'irrationnels obtenus en ajoutant à l'un deux successivement tous les rationnels, mais l'ensemble de ces classes ne peut être dénombrable car R devrait l'être ce qui n'est pas le cas. On ne peut donc indiquer un moyen de réaliser effectivement la partition dont on se trouve conduit à admettre l'existence théorique, d'où l'axiome : AXIOME DU PARTAGE (LUSIN) : toute relation d'équivalence détermine une partition dans un ensemble E". C'est lui qui met des majuscules. J'ai googolisé mais je ne trouve rien de concluant. J'intuite que cet axiome de Lusin est un cousin de l'axiome du choix. Qu'en pensez-vous ? Gaston Casanova était me semble-t-il un prof très compétent. Je ne crois pas à une erreur de sa part.
Cordialement.
Jean-Louis.
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Réponses
Cordialement.
Jean-Louis.
On pourrait arbitrairement désigner le premier élève par ordre alphabétique dans chaque classe.