Condition de transversalité

Keynes

Bonjour  à tous 
Soit $X$ une  variété  de dimension  2  définie par l'équation  $x^2+y^2-6y=z^2-5$
Je souhaite montrer que le plan d'équation $z=0$ est transverse à $X$.
J'ai essayé avec beaucoup de calcul et sans grande chose quelqu'un a-t-il une suggestion qui évite beaucoup de calcul à me proposer ?
Je recherche un plan passant par  un point de la forme (0,c,0) et non transverse à $X$  je ne sais pas comment m'y prendre pour cette question . Quelqu'un peut-il m'aider ?

Rescassol

Bonjour,

Quelle est ta définition de "transverse" ?

Cordialement,
Rescassol

Philippe Malot

Bonjour,
Je note $Z$ le plan d'équation $z=0$. Il faut montrer que pour tout $m=(x,y,z)$ dans $X\cap Z$, on a : \[T_mX+T_mZ=\R^3\]
$T_mZ$ n'est autre que $Z$ lui-même, il suffit donc de vérifier qu'en tout point $m$ de $X\cap Z$, le plan tangent $T_mX$ n'est pas inclus dans $Z$.
On peut remarquer que si $f$ désigne la fonction $(x,y,z)\mapsto x^2+y^2-z^2-6y+5$, alors $0$ est une valeur critique régulière de $f$, $X=f^{-1}(\{0\})$ et donc $T_mX=\mathrm{Ker}(df_m)$ pour tout $m$ dans $X$.

Keynes

Merci bien 

Keynes

Philippe Malot pourquoi 0  est une valeur critique ? N'est-ce pas une valeur régulière,  je trouve un seul point critique (0,3,0) dont l'image  est -4.

Math Coss

Je pense quil voulait au contraire dire "n'est pas".

Philippe Malot

Effectivement, je voulais dire régulière. 👍🏻