A[[X]] noethérien lorsque A est noethérien

ludo'

Bonsoir

Je cherche à démontrer un résultat souvent cité mais quasiment jamais démontré dans les ouvrages et les sites que j'ai consultés: le théorème de Hilbert stipulant que si A est un anneau noethérien alors A[[X]] est noethérien.

Dans "Algèbre: le grand combat" l'auteur suggère d'imiter la démonstration de ce théorème valable pour les polynômes (pages 674-676) en substituant la fonction valuation d'une série au degré (et ce conseil est souvent répété sur le net au sujet de ce théorème ) .

Or la première démonstration fournie (raisonnement par l'absurde) n'aboutit plus à une contradiction tandis que la récurrence dans la seconde démonstration (plus constructive) tombe également à l'eau dès l'initialisation ...

Si quelqu'un veux partager sa démonstration ici je l'en remercie.  ,

Foys

Soit $I$ un idéal de $A[[X]]$. Soit $J$ l'ensemble des $x$ tels qu'il existe $f\in A[[X]]$ et $n\in \N$ tels que $f_0 = x$ et $X^n f \in I$. Alors $J$ est un idéal de $A$, donc il existe une famille finie $g_1,...,g_d$ dans $I$ telle que les coefficients non nuls de plus bas degré (qu'on prendra égaux à $0$ si lesdites séries sont nulles) de ces séries engendrent $J$.

Soit $f=\sum_{n\geq 0} f_n X^n \in I$. On note $v(f)$ le plus petit entier $n$ tel que $f_n\neq 0$ (ou bien $+\infty$ si $f=0$). Alors $f \in \langle g_1,...,g_d\rangle$ ou bien il existe $a_1,...,a_d \in A$ et $k_1,...,k_d\in \N$ tels que $v(f-\sum_{k=1}^d a_i X^{k_i} g_i) > v(f)$. Est-ce que tu vois comment construire une suite de séries formelles par récurrence et conclure?

ludo'

@Foys: Merci pour ce coup de pouce je vais le lire à tête reposée

ludo'

J'ai compris le procédé qui consiste à soustraire successivement des combinaisons de $g_i$ (encore que la définition de l'idéal J ne me soit pas totalement limpide ...) pour faire successivement monter la valuation de la différence jusqu'à finalement écrire f comme élément de l'idéal de type fini mais :

$v(f-\sum_{k=1}^d a_i X^{k_i} g_i) > v(f)$ sous-entend que $v( f) \geq v(g_i)$ pour tout $i$ mais quid sinon ?

C'est là que réside le nœud du problème, qui mériterait peut-être une mise au clair ...

ludo'

Je précise mon objection : comment opérer par exemple lorsque $v(f)$ est minimale dans $ I\setminus{0}$ ?

ludo'

Je pense avoir résolu mon problème en considérant la suite des idéaux $I_n$ de $A$ formés des termes des séries de $I$ de valuation $n$ et pour tout $n$, associer à chaque générateur non nul $a_{n,k}$ de $I_n$ une série $S_{n,k} = a_{n,k}X^n+ ...$ puis considérer $I'=(S_{n,k},\ n\ge 0~ et~ k=1,\ldots,k_n)$ il me semble que la montée successive en valuation de la différence se fait alors sans problème puisque les $S_{n,k} $ ont tous la même valuation pour $n$ fixé.

Chaurien

On trouve des réponses sur Internet :

http://benoit.loisel.perso.math.cnrs.fr/teaching/2018-2019/agreg/CoursSeriesFormelles.pdf

https://math.stackexchange.com/questions/287113/if-r-is-a-noetherian-ring-then-rx-is-also-noetherian

Bonne journée.

Fr. Ch.

Bonne fête à toutes les mères, 29/05/2022

ludo'

Bonjour Chaurien

Merci pour ces deux démonstrations (que j'avais déjà parcourues) dont certains points me semblent toujours obscurs, même après relecture et avoir résolu l'exercice.

Bonne journée