Limite d’une suite du vendredi soir

etanche

Bonjour
Soit $f$ de classe $C^2$ sur $[0;1]$ telle que $f(0)=0$, $f'(0)=1$ et $f''(0)\neq 0$.

De plus, on suppose que pour tout $x\in ]0;1]$, on a $0<f’(x)<1$.

On considère une suite $(x_n)_{n\geqslant 1}$ avec $0<x_1\leqslant 1$ et pour tout $n\geqslant 1$, \[x_{n+1} = f\left(\dfrac 1n\sum_{k=1}^{n} x_k\right)\] Montrer que la suite $(x_n\ln(n))_{n\geqslant 1}$ tend vers $\dfrac{-2}{f’’(0)}$.
Merci 

JLapin

Je corrige quelques coquilles (désolé).

Je note $\mu_n$ la moyenne arithmétique de $x_1,\ldots,x_n$.

Par une étude de fonction immédiate, la fonction $f$ est croissante et pour tout $x\in [0,1]$, on a $0\leq f(x)\leq x$ et $f(x)=x$ ssi $x=0$.

Ensuite, pour $n\in\N^*$, on a $x_{n+1}\leq f(\mu_n)\leq \mu_n$, ce qui donne directement $\mu_{n+1}\leq \mu_n$ puis $f(\mu_{n+1})\leq f(\mu_n)$ et donc, la suite $(x_n)$ est décroissante au moins à partir du rang $2$.

Par le théorème de limite monotone, elle possède une limite dans $[0,1]$ qui est nulle par continuité de $f$ et car $0$ est l'unique point fixe.

Par Césaro, la suite $(\mu_n)$ converge vers $0$, par valeurs strictement positives, sinon on aurait $x_1=0$.

Par Taylor-Young, on a $x_{n+1}=f(\mu_n)=\mu_n+\dfrac{f''(0)}{2}\mu_n^2+o(\mu_n^2)$ puis $(n+1)(\mu_{n+1}-\mu_n) = \dfrac{f''(0)}{2}\mu_n^2+o(\mu_n^2)$ puis $\dfrac{\mu_{n+1}-\mu_n}{\mu_n^2}= \frac{f''(0)}{2n}+o(1/n)$

Ceci donne en particulier $\dfrac{\mu_{n+1}}{\mu_n} = 1+O(1/n)$ donc $\mu_{n+1}\sim \mu_n$.

En reprenant la relation précédemment démontrée par Taylor-Young, on obtient $\dfrac{1}{\mu_{n}} - \dfrac{1}{\mu_{n+1}}\sim \dfrac{\lambda}{n}$ donc par sommation des relations de comparaison, $-\frac{1}{\mu_n} \sim \lambda \ln(n)$, avec $\lambda = \dfrac{f''(0)}{2}$

Enfin, $x_n = f(\mu_{n-1})\sim \mu_{n-1} \sim  - \dfrac{2}{f''(0)\ln(n)}$

Calli

Bonjour,
@JLapin, est-ce que $u_i$ c'est $x_i$ ? Et je n'ai pas compris d'où vient $\dfrac{\mu_{n+1}-\mu_n}{\mu_n^2}= \frac{f''(0)}{2n}+o(1/n)$ (Taylor-Young sur quelle fonction et en quels points ?). Est-ce que tu peux détailler s'il te plaît ?

julian

Jlapin, un truc m'échappe : où vois tu que f est décroissante ? 

JLapin

J'espère avoir répondu aux questions posées dans le premier message modifié

Calli

Merci et bravo @JLapin. 

julian

Joli. C'est tiré d'un Oral ? 

etanche

Comment obtiens-t-on $\frac{\mu_{n+1}}{\mu_{n}} = 1 + O (\frac{1}{n})$ ? 

JLapin

En multipliant la relation précédente par $\mu_n$.

D'où vient l'exo au passage ?

bd2017

JLapin a dit :

 $(n+1)(\mu_{n+1}-\mu_n) = \dfrac{f''(0)}{2}\mu_n^2+o(\mu_n^2)$ puis $\dfrac{\mu_{n+1}-\mu_n}{\mu_n^2}= \frac{f''(0)}{2n}+o(1/n)$

Ceci donne en particulier $\dfrac{\mu_{n+1}}{\mu_n} = 1+O(1/n)$ donc $\mu_{n+1}\sim \mu_n$.

Je trouve que le $o(1/n)$ de la première ligne n'est pas justifié. En effet quand on divise par $\mu_n ^2,$  le  $o(\mu_n ^2)$  donne $o(1)$

Néanmoins  puisque $\mu_{n+1}=\dfrac{ n \mu_n + f(\mu_n)}{n+1} $ et avec le  DL  donné par Jlapin, on obtient  directement $\mu_{n+1}=\mu_n + o(\mu_n)$.

JLapin

C'est une division par $(n+1)\mu_n^2$ qui donne bien un $o(1/n)$, non ?

bd2017

Oui excuses moi.  Mais  si tu veux  $\mu_{n+1}\sim \mu_n$ c'est à  partir de l'identité que j'ai donné  qu'on l'obtient directement .

JLapin

Effectivement, on peut aussi obtenir ainsi $\mu_{n+1}\sim \mu_n$.

etanche

@ JLapin l’exercice a été posé par un colleur de maths spé MP. Je n’ai pas plus de précision.