Base hilbertienne
Bonjour
Voici un exercice sur lequel je bloque.
Soit $H$ un espace de Hilbert admettant une base hilbertienne $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$. Soit $(f_i)_{i \in \mathbb{N}}$ une famille orthonormée de vecteurs vérifiant $\displaystyle \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} \| e_i - f_i \|^2 < + \infty$.
1) Montrer que $\displaystyle \forall i \in \mathbb{N}, \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} | \langle e_j - f_j, f_i \rangle |^2 = \| e_i - f_i \|^2$.
2) En déduire que $(f_i)_{i \in \mathbb{N}}$ est une base hilbertienne de $H$.
Je suis parvenu à répondre à la première question, mais je bloque à la seconde.
J'ai essayé d'utiliser le fait que $\displaystyle \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} \| e_i - f_i \|^2 = \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} | \langle e_j - f_j, f_i \rangle |^2 = \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} | \langle e_j - f_j, f_i \rangle |^2$ pour utiliser la finitude de la première somme (mais sans trop savoir où je vais) sans succès.
Je comprends qu'il suffit de montrer que chaque $e_i$ est dans l'adhérence de l'espace engendré par les $f_j$, j'ai donc essayé de considérer le projeté de chaque $e_i$ sur cet espace, sans plus de succès.
Je vous serais reconnaissant si vous pouviez me fournir une indication.
Merci d'avance, et bonne soirée à vous.
Voici un exercice sur lequel je bloque.
Soit $H$ un espace de Hilbert admettant une base hilbertienne $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$. Soit $(f_i)_{i \in \mathbb{N}}$ une famille orthonormée de vecteurs vérifiant $\displaystyle \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} \| e_i - f_i \|^2 < + \infty$.
1) Montrer que $\displaystyle \forall i \in \mathbb{N}, \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} | \langle e_j - f_j, f_i \rangle |^2 = \| e_i - f_i \|^2$.
2) En déduire que $(f_i)_{i \in \mathbb{N}}$ est une base hilbertienne de $H$.
Je suis parvenu à répondre à la première question, mais je bloque à la seconde.
J'ai essayé d'utiliser le fait que $\displaystyle \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} \| e_i - f_i \|^2 = \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} | \langle e_j - f_j, f_i \rangle |^2 = \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} | \langle e_j - f_j, f_i \rangle |^2$ pour utiliser la finitude de la première somme (mais sans trop savoir où je vais) sans succès.
Je comprends qu'il suffit de montrer que chaque $e_i$ est dans l'adhérence de l'espace engendré par les $f_j$, j'ai donc essayé de considérer le projeté de chaque $e_i$ sur cet espace, sans plus de succès.
Je vous serais reconnaissant si vous pouviez me fournir une indication.
Merci d'avance, et bonne soirée à vous.
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Merci beaucoup, j’ai compris !