Distribution tempérée

Cere

Bonjour
Il faut que je montre que $T$ est une distribution tempérée. 
Je trouve seulement l'inégalité suivante: 
$\forall \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}),\ \ |\langle T, \varphi\rangle| \leq 2 \sup_{x}(1+x^2)|\varphi'(x)|$.
Normalement, cela devrait être suffisant pour conclure. 
Mais je n'arrive pas à le montrer. 
Il faut que je me ramène à une norme $||.||_{n,\mathcal{S}}$.
Je sais que : $\left\|\varphi^{(\ell)}\right\|_{k, \mathcal{S}} \leq C\|\varphi\|_{k+\ell, \mathcal{S}}$.

Pourriez-vous me donner une piste ?
Merci d'avance.

gebrane

Bonjour, C'est quoi une distribution tempérée. C'est quoi la convergence dans S (R) 

Cere

Voilà les définitions que j'ai: 

On appelle distribution tempérée sur $\mathbb{R}$ une forme linéaire définie sur l'espace $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ et qui vérifie

$\exists n \in \mathbb{N}, \ \exists C ,\  \forall \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}),\quad |\langle T, \varphi\rangle| \leq C\|\varphi\|_{n, \mathcal{S}}$

On note $\mathcal{S}^{\prime}(\mathbb{R})$ l'ensemble de ces formes linéaires.

Où on définit : 
$\forall n \in \mathbb{N},\quad \|f\|_{n, \mathcal{S}} \stackrel{\text { déf }}{=} \max _{k \leq n} \sup _{x \in \mathbb{R}}(1+|x|)^{n}\left|f^{(k)}(x)\right|<\infty$

Cere

C'est bon, en fait j'ai la norme $||\phi '||_{0,S}$ dans ce que j'ai trouvé, puis je conclus par mon inégalité entre normes, c'était devant mon nez. 

gebrane

Donc une distribution tempérée est une forme linéaire continue  sur $S (\R)$. Pour bien comprendre tu considères une suite $\phi_n$ qui converge vers  $\phi$ dans $S (\R)$ (ça signifie quoi) et tu veux démontrer  que $<T,\phi_n-\phi> $  tend vers $0$. Tu continues ...

Ajout je n 'ai pas le temps pour suivre la discussion. Je t'explique. Quand on suppose la convergence dans $S$, on suppose la convergence de $\phi_n-\phi$ pour toutes les semi-normes et dans ton calcul, tu trouves une majoration avec une semi-norme, c'est suffisant pour conclure.

gebrane

Je n'en ai pas vu ton dernier message. 

Cere

Oui effectivement, on peut le voir comme cela aussi. 

On a: $\left\|\varphi^{(\ell)}\right\|_{k, \mathcal{S}} \leq C\|\varphi\|_{k+\ell, \mathcal{S}}$. 
On a montré que: $\forall \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}),\quad |\langle T, \varphi\rangle| \leq 2 \sup_{x}(1+x^2)|\varphi'(x)|$
On a: $\left\|\varphi^{'}\right\|_{0, \mathcal{S}} \leq C \sup_x||\varphi^{'}(x)|$. 
On a $\sup_{x}(1+x^2)|\varphi '(x)| \leq C \sup_x|\varphi^{'}(x)| = C\left\|\varphi^{'}\right\|_{0, \mathcal{S}}$

Cette dernière égalité est justifiée car comme $\varphi^{'} \in \mathcal{S}$ alors il existe $K>0$ tel que $\sup_{x}(1+x^2)|\varphi '(x)| = \sup_{x\in [-K,K]}|(1+x^2)|\varphi'(x)| \leq (1+K^2)\sup_{x\in [-K,K]}||\varphi'(x)||\qquad (*)$
Finalement, on a avec $n=1$: $\forall \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}),\quad |\langle T, \varphi\rangle| \leq C\|\varphi\|_{1, \mathcal{S}}$

Après oui on peut aussi voir la convergence comme tu l'as faite, avec la caractérisation séquentielle. 
Avec les éléments que j'avais dès mon premier message, c'était assez pour avoir $(*)$, mais je ne l'avais pas vu.

Edit. Oui effectivement, tu n'avais pas du voir mon message de 12h28, je comprends mieux ton message dans ce cas. 
Merci pour ton aide !

Philippe Malot

Bonjour @Cere,
Je ne comprends pas très bien ton passage à l'intervalle $[-K,K]$ puis l'écriture $\displaystyle\sup_{x\in[-K,K]}\Vert\varphi'(x)\Vert$.
De plus, dans ta définition de $\Vert\cdot\Vert_{1,\mathcal S}$, il y a un $|x|$ et pas un $x^2$. Comment fais-tu pour t'en sortir ?

Cere

Bonjour @Philippe,

J'avais une coquille, j'ai écris: $\left\|\varphi^{'}\right\|_{0, \mathcal{S}} \leq C \sup_x||\varphi^{'}(x)|$
Je voulais écrire: $\sup_{x}(1+x^2)|\varphi '(x)| \leq C \sup_x|\varphi^{'}(x)| = C\left\|\varphi^{'}\right\|_{0, \mathcal{S}}$ 
Je vais éditer.

Je complète par contre mon raisonnement.
Bien évidemment je peux me tromper:
On a $\varphi ' \in \mathcal{S}$ donc le produit de  $\varphi'$ par une fonction polynomiale est bornée à l'infini.
Ainsi, $|(1+x^2)\varphi '(x)|$ tend vers 0 quand $|x| \to \infty$, on peut donc se restreindre pour trouver le $\sup$.

A la fin j'utilise: $\left\|\varphi^{(\ell)}\right\|_{k, \mathcal{S}} \leq C\|\varphi\|_{k+\ell, \mathcal{S}}$ avec $\ell =1, n = 0$

Cere

J'ai vraiment du mal à écrire mes raisonnements en $\LaTeX$ sans glisser des coquilles un peu partout. 
Il se peut que j'ai encore écrit des bêtises. 

Néanmoins ce soir je pourrai rédiger quelque chose de correcte sur papier et scanner.

Philippe Malot

Qu'en est-il du $x^2$ en lieu et place du $|x|$ dans la définition de la norme $\Vert\cdot\Vert_{1,\mathcal S}$ ?

Cere

Je ne suis pas sûr de comprendre la question. 
Dans quelle équation ? 

Je me suis débarassé du $(1+x^2)$ en restreignant à un intervalle $[-K,K]$, j'ai donc trouver que : 
 $\sup_{x}(1+x^2)|\varphi '(x)| = \sup_{x\in[-K,K]}|(1+x^2)\varphi^{'}(x)| \leq C \sup_{x\in[-K,K]}|\varphi^{'}(x)| \leq C \sup_{x\in\mathbb{R}}|\varphi^{'}(x)| =  C\left\|\varphi^{'}\right\|_{0, \mathcal{S}}$ 
On a $C = 1+ K^2$ 

Par ailleurs, il y a deux définitions pour les distributions tempérées, qui reviennent à la même chose : considérer $(1+|x|)^n$ ou bien $|x|^n$

Philippe Malot

Le problème de ton $K$, c'est qu'il dépend de $\varphi$.

Cere

Effectivement, c'est donc faux. 
Je vais réfléchir à cela sur papier.

Barjovrille

tu peux t'en sortir en remarquant que $(1+x^2)=(1+|x|^2)$ et par majoration tu essayes de faire apparaître une norme du type $||.||_{n,S}$

Philippe Malot

On peut remarquer que $x\mapsto\dfrac{1+x^2}{(1+|x|)^2}$ est bornée sur $\R$.

EDIT : Par ailleurs, je te conseille de ne pas utiliser la notation $\sup_x$ le jour d'un examen.

Cere

Oui, en faite on utilise la norme $||\varphi'||_{2,S}$. 

Ou remarque que: 
$\sup_{x}(1+x^2)|\varphi'(x)| \leq \max_{k \in \{0,1\}} \sup _{x \in \mathbb{R}}(1+x^2)\left|\varphi^{(1+k)}(x)\right|$

On trouve vite le résultat en commençant par cela.

Philippe Malot

Le problème c'est que tu nous as dit que tu avais une majoration avec $\displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}}\ (1+x^2)\lvert\varphi'(x)\rvert$.
Le $1$ en plus ne cause-t-il pas de problème ou bien est-ce dû au fait que tu as soudainement changé de norme ?

Cere

J'ai modifié mon message Philippe, pas besoin de faire tout le cheminement que j'avais écrit, en considérant l'autre norme (équivalente).

Cere

Du coup non, le 1 en plus ne pose pas de problème. 
On a : $\frac{(1+|x|)^2}{1+x^2}$ borné (compris entre 1 et 2 même normalement). 
Donc finalement: 
$\sup_{x}(1+x^2)|\varphi'(x)| \leq \max_{k \in \{0,1\}} \sup _{x \in \mathbb{R}}(1+x^2)\left|\varphi^{(1+k)}(x)\right| \leq  C\max_{k \in \{0,1\}} \sup _{x \in \mathbb{R}}(1+|x|)^2\left|\varphi^{(1+k)}(x)\right|$

Et la on a bien fait apparaitre la norme:  $||\varphi'||_{2,S}$

Philippe Malot

Bon, on y est, mais tu t'embêtes pour rien avec ton $1+k$.
J'écrirais ceci :
Si $\varphi$ est un élément de $\mathcal S(\mathbb R)$, on a : 
\[\sup_{x\in\mathbb R}\ (1+x^2)\left\lvert\varphi'(x)\right\rvert\leqslant\sup_{x\in\mathbb R}\ (1+\lvert x\rvert)^2\left\lvert\varphi'(x)\right\rvert\leqslant\max_{0\leqslant k\leqslant 2}\ \sup_{x\in\mathbb R}\ (1+\lvert x\rvert)^2\left\lvert\varphi^{(k)}(x)\right\rvert=\lVert\varphi\rVert_{2,\mathcal S}\]

Cere

Effectivement, c'est mieux. 
Je me suis bien égaré en chemin mais grâce à vous je ne me suis pas perdu indéfiniment.
Merci.