Extension galoisienne et radicale

Balitran

Bonjour à tous
Je suis en train de me replonger dans la théorie de Galois, et je cherche à éclaircir un point.

Si une extension est normale (disons même galoisienne), le groupe de Galois associé l'est aussi (distingué).
Cependant, pour un polynôme donné, si on trouve une chaîne d'extensions normales du corps de base au corps des racines cela ne veut pas pour autant dire que le polynôme est résoluble par radicaux. Idem pour une chaîne de sous-groupes distingués.

Si je demande, c'est que dans un premier temps il me semblait que cela suffisait. Mais j'ai l'impression que c'est n'est pas le cas :
1. pour les sous-groupes, il faut en plus de l'hypothèse de "normalité", l'hypothèse que les groupes quotients soient abéliens ;
2. et j'imagine que l'analogue chez les corps est la radicalité des corps correspondant ???

Désolé si je suis complétement à côté de la plaque et si ce que je dis n'a pas beaucoup de sens.

En vous remerciant tous d'avance pour votre aide.

MrJ

Être résoluble par radicaux signifie que l’on peux exprimer les racines du polynôme en fonctions de ses coefficients et de plusieurs racines. Plus formellement, cela correspond à dire que l’on a une chaîne d’extensions radicales de $\Q$ jusqu’au corps de décomposition $K$ du polynôme $P$.

Ensuite, on peut démontrer que la chaîne ci-dessus correspond à une chaîne de sous-groupes de ${id}$ jusqu’au groupe $Gal(L/\Q)$ de sorte que les quotients successifs soient des groupes cycliques (voir par exemple http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/GALOIS2012/corr9.pdf ).

On peut remarquer ensuite qu’il suffit d’avoir des quotients successifs donnant des groupes abéliens, car tout groupe abélien fini se décompose en une chaîne de sous-groupes de sorte que les quotients successifs soient cycliques.

Balitran

Donc, au final, le caractère normal des groupes et des extensions n'est pas suffisant pour déduire la résolution par radicaux. Il faudra que je retrouve la source qui m'a laissé croire le contraire.

Merci beaucoup !