Séries, intégrales, et vocabulaire

totem

Bonjour
on parle de suite et de série de fonctions, mais pourquoi parle-t-on d'intégrale dépendant d'un paramètre ? Et pas d' "intégrale de fonctions" ? 
En plus j'ai cru comprendre qu'au sens de la mesure de Lebesgue, série et intégrale c'est presque la même chose...
Merci.

Math Coss

Intégrale de fonction, ce n'est guère informatif. S'il fallait uniformiser, plutôt série à paramètre. Comme ce sont des fonctions, le vocabulaire en usage est tout de même compréhensible. 

totem

Oui en effet ce n'est pas très pertinent...mais tu noteras que j'ai écrit "intégrale de fonctions" et non "intégrale de fonction" ce qui n'est pas tout à fait la même chose 

Math Coss

Pas tout à fait pareil en effet. Cependant, « intégrale de fonctions », ce n'est pas très informatif non plus (et quand on en parle, pas si facile de faire la différence).

Renart

Regardons ce qu'il se passe pour les deux objets.

Soit $E$ une espace vectoriel normé et $(S_n)_n$ une suite d'éléments, la convergence de la suite $(S_n)_n$ et son éventuelle limite $S$ se définissent assez aisément et de façon tout à fait générale. Si $E= C^0([0;1])$ ou n'importe quel autre espace de fonctions et $S_n = \sum_{k=0}^n f_k$ avec $f_k$  des éléments de $E$ on donne un sens à  $\sum f_n$ et $\sum_{n=0}^\infty f_n$ sans difficulté. On a donc réellement un objet qui est une suite (ou une série) de fonctions. Pour tout un tas de raisons il arrive fréquemment qu'on travaille avec $\sum f_n(x)$ et $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ qui sont des séries dépendant d'un paramètre $x$ mais qu'il est parfois utile (ou en tout cas inoffensif) de considérer comme $\sum f_n$ et $\sum_{n=0}^\infty f_n$ évaluées en $x$.

Prenons maintenant une fonction $\varphi : [0;1] \to C^0([0;1])$, (ou à valeurs dans un autre espace de fonctions) si on veut définir une "intégrale de fonctions" il faut donner un sens à

\[\int_0^1 \varphi(t) \mathrm dt \]ce qui demande de savoir intégrer des fonctions à valeurs dans un espace vectoriel autre que $\R^n$ ou $\C^n$. Ceci n'est pas évident, en général dans la construction de l'intégrale de Lebesgue ou Riemann on utilise fortement le fait que l'espace d'arrivée soit $\R$ (donc muni d'une relation d'ordre) et ensuite on généralise à $\R^n$ ou $\C^n$. Pour intégrer des fonctions à valeurs dans un EVN on s'en sort soit en intégrant des fonctions réglées soit en développant la théorie de l'intégrale de Bochner, dans les deux cas on a très envie que l'espace d'arrivée soit un Banach  (ce qui est un peu restrictif). Bref c'est beaucoup se compliquer la vie (et celle des étudiants) de définir proprement la fonction $\int_0^1 \varphi(t) \mathrm dt $.  Surtout sachant que, avec une théorie raisonnable de l'intégration et des fonctions raisonnables elles aussi on obtiendra

\[\left(\int_0^1 \varphi(t) \mathrm dt \right) (\lambda) = \int_0^1 \varphi(t)(\lambda) \mathrm dt \]

et que le membre de droite est conceptuellement bien plus simple à définir. Quand on travail avec le membre de droite on n'est pas en train de faire des intégrales de fonctions mais bien d'étudier l'intégrale d'une fonction à valeurs réelle dépendant d'un paramètre $\lambda$.

Selon moi les deux appellations différentes sont donc justifiées. C'est une vision personnelle et un peu subjective donc on a évidemment le droit de ne pas être d'accord. Mais il y a un réel travail à fournir pour définir  $\int_0^1 \varphi(t) \mathrm dt$ plutôt que de simplement travailler avec les $\int_0^1 \varphi(t)(\lambda) \mathrm dt$ et ça c'est objectif.