Développement en série, erreur calcul ?

tgbne

Bonjour, dans la correction il est dit : $\frac{1}{(x-1)^{2}}=-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x-1}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^{n}$.

Je trouve : $\frac{1}{(x-1)^{2}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}$ car $\frac{1}{x-1}=-\frac{1}{1-x}=-\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}$

Par intégration : $\frac{1}{(x-1)^{2}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Qui a raison ?

JLapin

La correction. Tu fais erreur dans ton calcul de primitive.

gerard0

Il s'agissait de dériver, tu intègres ...

Cordialement.

tgbne

en effet, j'ai buggé pour rien : $\frac{1}{(1-x)^{2}}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^{n}$.

bisam

Pour l'entraînement, tu peux aussi le prouver par produit de Cauchy : \[\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{1}{1-x}\times \frac{1}{1-x}\]

Math Coss

Je ne sais pas si j'adore l'expression $\sum_{n=0}^{+\infty}nx^{n-1}$ à cause de $0x^{-1}$ qui a le mauvais goût de ne pas être défini en $x=0$. Autrement dit, je sauterais cette expression dans la suite d'égalités.