$f \in \mathcal{S}, \forall k \in \N, \int x^kf(x)dx = 0$
Bonjour, je cherche une fonction $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ non identiquement nulle telle que, pour tout $k \in \mathbb{N}, \int_{\mathbb{R}} x^{k} f(x) \mathrm{d} x=0$.
Où $\mathcal{S}$ désigne l'espace de Schwartz.
On note $F(f)$ la transformée de Fourier de $f$.
On a $F(f)^{(k)}(\xi) = (-i)^kF(x^kf(x))(\xi)$.
Donc $F(f)^{(k)}(0) = (-i)^kF(x^kf(x))(0) = (-i)^k \int_{\mathbb{R}} x^{k} f(x) \mathrm{d} x = 0$.
Il suffit donc de trouver une fonction $g \in \mathcal{S}$ dont toutes les dérivées sont nulles en $0$ et on pose: $f = F^{-1}(g)$.
La fonction $g = e^{\tfrac{1}{x(1-x)}}1_{]0,1[}(x)$ convient.
Est-ce correct ?
Merci d'avance pour votre aide.
Edit: erreur, manque du $-1$ dans l'exponentielle, mais je laisse comme tel pour comprendre le fil.
Où $\mathcal{S}$ désigne l'espace de Schwartz.
Voici ma résolution.
Soit $f$ une telle fonction.On note $F(f)$ la transformée de Fourier de $f$.
On a $F(f)^{(k)}(\xi) = (-i)^kF(x^kf(x))(\xi)$.
Donc $F(f)^{(k)}(0) = (-i)^kF(x^kf(x))(0) = (-i)^k \int_{\mathbb{R}} x^{k} f(x) \mathrm{d} x = 0$.
Il suffit donc de trouver une fonction $g \in \mathcal{S}$ dont toutes les dérivées sont nulles en $0$ et on pose: $f = F^{-1}(g)$.
La fonction $g = e^{\tfrac{1}{x(1-x)}}1_{]0,1[}(x)$ convient.
Est-ce correct ?
Merci d'avance pour votre aide.
Edit: erreur, manque du $-1$ dans l'exponentielle, mais je laisse comme tel pour comprendre le fil.
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Réponses
J'ai rajouté : "$g = ...$", c'est peut-être ça qui était confus.
On a: $\displaystyle f = F^{-1}(g) = \int_{\mathbb{R}}e^{-itx}g(-t)dt = \int_0^1e^{itx}e^{\tfrac{-1}{x(x+1)}}dt$
@JLT tu as comme fraction $\frac{-1}{x(1-x)}$ et j'ai $\frac{-1}{x(1+x)}$, ai-je fait une erreur ?
Edit : erreur, mais je laisse comme tel pour comprendre la conversation
Je me restreins à $\R^+$. Il nous faut une fonction qui change de signe,
j'ai testé $\exp(-x)\sin x$ ça ne marche pas.
Ensuite $\exp(-\sqrt x)\sin \sqrt x$ ça ne marche pas,
et j'ai testé avec $\exp(-x^{\frac 14})\sin x^{\frac 14}$, à ma surprise ça marche dans les essais de wolfram exemple 1 exemple 2
Est-ce que quelqu'un a le courage pour démontrer que pour tout $n $, $$\int_0^{\infty} x^n \exp\big(-(x^{\frac 14})\big)\sin (x^{\frac 14})=0 \quad ?$$
@FDP ?
Je vais éditer ce message pour mettre mes définitions.
Ah non, j'ai effectivement oublié le $-1$ dans l'exponentielle de mon premier message, puis j'ai repris cette erreur par la suite.
$\mathcal{F}(f)\left\{\begin{aligned} \mathbb{R}^{d} & \longrightarrow \mathbb{C} \\ \xi & \longmapsto \int_{\mathbb{R}^{d}} e^{-i\langle\xi, x\rangle} f(x) d x \end{aligned}\right.$
S'en suit le théorème.
Il est important pour moi de vérifier et comprendre les résultats.
Je sors pour ne pas dévier le fil d'avantage