Tribu de Baire

Ug

Bonjour

Soit l'affirmation suivante.

'Si $X$ est un espace localement compact (séparé) à base dénombrable d'ouverts, sa tribu borélienne coïncide avec sa tribu de Baire'.

Je rappelle que la tribu de Baire de $X$ est la tribu engendrée par les $G_\delta$ compacts de $X$.
Des idées pour justifier une telle affirmation ?

Foys

Soit $\mathcal B=:\{B_n \mid n\in \N\}$ une base dénombrable d'ouverts de $X$.

1°) Soit $\mathcal P_F (\N)$ l'ensemble des parties finies de $\N$. Comme cet ensemble est dénombrable (les parties finies de $\N$ codent les nombres entiers écrits en base $2$), l'ensemble $\mathcal B'$ des ouverts de $X$ qui sont réunions finies d'éléments de $\mathcal B$ est dénombrable.

2°) Soit $K$ un compact de $X$ distinct de $X$; alors $K$ est l'intersection d'éléments de $\mathcal B'$ (intersection qui est dénombrable par 1°).

En effet, soit $y\in X\setminus K$. Pour tout $x\in K$, soient $V_x,W_x\in \mathcal B$ tels que $V_x\cap W_x=\emptyset$ ($X$ est séparé par définition), $x\in V_x$ et $y\in W_x$. $K$ est recouvert par les $(V_x)_{x\in X}$ d'où $F\subseteq K$ fini tel que $K\subseteq \bigcup_{x\in F} V_x$. $\bigcup_{x\in F} V_x$ est dans $\mathcal B'$ et ne contient pas $y$. Le lemme en découle immédiatement.

Par 2°) on voit que tous les compacts de $X$ sont dans la tribu de Baire de $X$.

3°) $X$ est réunion dénombrable de compacts.

Soit $\mathcal B''$ l'ensemble des éléments de $\mathcal B$ contenus dans au moins un compact. Alors $\mathcal B''$ est encore une base de $X$, en effet soit $V$ un ouvert de $X$ et $x\in V$. Alors par locale compacité il existe un compact $L\subseteq V$ dont l'intérieur contient $x$ et un élément $W\in \mathcal B$  tel que $x\in W$ et $W\subseteq \overset{\circ} L$. Donc $W\in \mathcal B''$ et donc $V$ est réunion d'éléments de $\mathcal B''$. On en déduit le résultat voulu puisqu'alors $X=\bigcup_{T\in \mathcal B''} \overline T$. 

4°) Soit $F$ un fermé de $X$. Alors (avec les notations de 3°) $F=\bigcup_{T\in \mathcal B''} (\overline T \cap F)$. Donc $F$ est union dénombrable de compacts. Donc $F$ est dans la tribu de Baire de $X$.

Ug

Merci Foys