Morphisme de Frobenius

jool

Bonjour,

j'ai un énoncé avec la correction, j'ai bien compris la correction mais je n'arrive pas à comprendre comment il obtient la matrice avec le morphisme de Frobenius. J'ai besoin d'aide.

Merci par avance.

Montrer que le polynôme Q(X) = X^3 + X + 1 est irréductible sur le corps Z5 = GF(5).

Utiliser Q pour construire le corps GF(5^3) = GF(125) = Z5[X]/(Q)
et en donner une base en tant qu’espace vectoriel de dimension 3 sur GF(5).
Déterminer dans cette base la matrice l’automorphisme de Frobenius (u 7 → u5) de GF (125).

Solution. P est de degré 3 et sans racine dans GF(5), donc irréductible. Les éléments correspondants à 1, X, X^2 forment une base de G(125) = Z5[X]/(Q) sur le corps GF(5).
Dans GF(125) = Z5[X]/(Q) on a X^3 = 4X + 4. Un calcul donne la matrice de l’automorphisme de Frobenius de GF(125) dans cette base.
1 1 3
0 1 3
0 4 3

JLT

Sachant que $X^3=4X+4$, peux-tu calculer $X^5$ comme combinaison linéaire de $1$, $X$ et $X^2$ ?

jool

super j'ai compris JLT merci!