Les 0 du brownien

Fulgrim

Bonjour à tous

Je fais l'exercice suivant.

Soit $B_t$ un mouvement brownien standard, et $n\geq 0$.

On découpe l'intervalle $[0,1[$ en sous-intervalles de taille $2^{-n}$ définis par $I^n_i :=[\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n}[$, pour $i=0,\dots,2^n-1$. On dit qu'un tel intervalle $I^n_i$ est "bon" si $\exists t\in I^n_i,\ B_t=0$, et on note $p_i^n := \mathbb{P}(I^n_i\text{ est bon})$.

J'ai prouvé qu'il existe $0<m<M$ indépendants de $n$ et $i$ tels que  
$$ \dfrac{m}{\sqrt{i+1}} \leq p^n_i \leq \dfrac{M}{\sqrt{i+1}}.$$

J'en ai déduit un encadrement de l'espérance du nombre $N^n$ de bons intervalles $I^n_i$ à $n$ fixé : $m2^{n/2} \leq \mathbb{E}[N^n]\leq M2^{n/2}$.

On me demande maintenant de montrer que la variable $\dfrac{\ln(N^n)}{\ln(2^n)}$ converge presque sûrement, mais je ne vois pas l'astuce.

Quelqu'un aurait une idée ? Merci

Fulgrim

Rebonjour,
Au cas où, je mets ici la première moitié de la réponse à la question. Je pensais d'abord qu'il fallait bricoler avec la LFGN, mais finalement non, c'était Borel-Cantelli.

On considère les évènements $A_n(a):=\{\ln(N^n)>a\ln(2^n)\}=\{N^n>2^{an}\}$, défini pour $a>0$. On a, par l'inégalité de Markov et les résultats précédents, $\mathbb{P}(A_n(a))\leq \frac{M2^{n/2}}{2^{an}}$, qui est le terme général d'une série convergente si et seulement si $a>\frac{1}{2}$. Par le premier lemme de Borel-Cantelli, on en déduit que pour tout $a>\frac{1}{2}$, seule une infinité de $A_n(a)$ se réalisent, et en peut en conclure que 

$$\limsup \dfrac{\ln(N^n)}{\ln(2^{n})}\leq \dfrac{1}{2}. $$
Si quelqu'un a une idée pour montrer que $\liminf \dfrac{\ln(N^n)}{\ln(2^{n})}\geq \dfrac{1}{2}$, je suis preneur

Barjovrille

Bonjour comment tu as trouvé l'encadrement?
J'ai reussi à montrer avec le theoreme des gendarmes que $ln(E(N^n))/ln(2^n)$ tend vers $1/2$ et donc par Jensen que $lim inf E(A_n) \geq 1/2$ mais je ne pense pas que ça permet de conclure...

edit : j'ai écris trop vite c'est pas le bon sens pour Jensen

Calli

Bonjour,
Je pense que $m2^{n/2} \leq \mathbb{E}[N^n]\leq M2^{n/2}$ et $\limsup \dfrac{\ln(N^n)}{\ln(2^{n})}\leq \dfrac{1}{2}$ p.s. ne suffisent pas pour montrer que $\liminf \dfrac{\ln(N^n)}{\ln(2^{n})}\geq \dfrac{1}{2}$ p.s., car on peut imaginer d'autres v.a. $N^n$ hors contexte qui vérifient les deux premiers points mais pas le troisième. Peut-être qu'il faut utiliser plus précisément ce qu'on sait sur les $p^n_i$ (?). Mais je n'ai pas trop d'idée.

Je me suis juste dit que si on pouvait montrer que les v.a. $\ln(\frac{N^{n+1}}{N^n})$ sont i.d.d., alors on pourrait appliquer la loi forte des grands nombres (en écrivant $\ln(N^n)$ comme une somme téléscopique). Mais je ne sais pas du tout si c'est vrai. 

Je ne suis pas non plus un grand connaisseur du mouvement brownien.

Fulgrim

Bonsoir à vous deux, et merci pour votre aide

@Barjovrille Je copie/colle le corrigé du début de l'exercice dans le message suivant

@Calli, effectivement je me suis aussi dit qu'on avait besoin de + d'information, mais je ne voyais pas laquelle. Peut-être que ton idée marchera, j'essayerai demain !

Fulgrim

On remarque d'abord que, par la propriété d'échelle du mouvement brownien,

$$p^n_i=\mathbb{P}\left(\exists t\in \left[\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n}\right[~:~ B_t=0\right)= \mathbb{P}\left(\exists t \in \left[1,1+\frac{1}{i}\right[~:~B_t=0\right).$$

Ensuite on borne $p^n_i$,

[$m$ :] Premièrement, il faut remarquer qu'on a $p^n_i\geq \mathbb{P}(B_1>0\,\cap \, B_{1+\frac{1}{i}}<0)$. Ensuite, on calcule   

$$\mathbb{P}(B_1>0\,\cap \, B_{1+\frac{1}{i}}<0) =\int_{\R^+}\mathbb{P}(B_{\frac{1}{i}}<-y)d\mathbb{P}(B_1=y) =\int_{\R^+}\mathbb{P}(B_{\frac{1}{i}}>y)d\mathbb{P}(B_1=y) =\int_{\R^+}\mathbb{P}(B_1>\sqrt{i}y)d\mathbb{P}(B_1=y)$$ $$=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R^+} \mathbb{P}(B_1>\sqrt{i}y) e^{-\frac{y^2}{2}}dy \geq^\star \dfrac{1}{2\pi}\int_{\R^+} \left(\dfrac{1}{\sqrt{i}y}-\dfrac{1}{(\sqrt{i}y)^3}\right) e^{-\frac{iy^2}{2}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy = \dfrac{1}{2\pi}\int_{\R^+} \left(\dfrac{iy^2-1}{(\sqrt{i}y)^3}\right) e^{-(i+1)\frac{y^2}{2}}dy$$ $$= \dfrac{1}{2\pi\sqrt{i+1}}\int_{\R^+} \left(\dfrac{\frac{i}{i+1}z^2-1}{(\sqrt{\frac{i}{i+1}}z)^3}\right) e^{-\frac{z^2}{2}}dz \geq  \dfrac{1}{2\pi\sqrt{i+1}}\int_{\R^+}\dfrac{c}{\sqrt{z}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz,$$

    pour un certain $c>0$. Le résultat s'en déduit en notant $m:=\frac{c}{2\pi}\int_{\R^+}\dfrac{1}{\sqrt{z}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz<\infty$.

    [$M$ :] Ensuite, en reprenant l'égalité plus haut et en notant $\tau_x$ le temps d'atteinte de $x$,
    \begin{align}
        p^n_i  = \int_{\R}\mathbb{P}\left(\exists t \in \left[1,1+\frac{1}{i}\right[~:~B_t=0~|~B_1=x\right)f_{B_1}(x)dx = 2\int_0^\infty \mathbb{P}\left(\tau_x<\frac{1}{i}\right)f_{B_1}(x)dx.
    \end{align}
    Or, d'après l'Exercice 5,
    $$\mathbb{P}\left(\tau_x<\frac{1}{i}\right)=\int_0^{\frac{1}{i}} \dfrac{x}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-\frac{x^2}{2t}}dt = \int_{ix^2}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{2\pi u}}e^{-\frac{u}{2}}du:= I. $$    Ensuite, on peut majorer cette intégrale $I$ de deux manières différentes :
        [si] $x^2\geq 1/i$, alors $u\geq 1$ et :   $$I\leq \int_{ix^2}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u}{2}}du =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{ix^2}{2}}. $$        [si] $x^2\leq i/1$, alors comme $e^{-\frac{u}{2}}\leq 1$ :
        $$ I\leq \int_{ix^2}^1\dfrac{1}{\sqrt{2\pi u}}du + \int_1^\infty \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u}{2}}du = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}(2-2\sqrt{i}x+e^{-\frac{1}{2}}) \leq \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}(2+e^{-\frac{1}{2}}).$$    Ainsi, reprenant l'égalité plus haut,
    \begin{align*}
        p^n_i &= 2\int_{\frac{1}{\sqrt{i}}}^\infty \mathbb{P}\left(\tau_x<\frac{1}{i}\right)f_{B_1}(x)dx + 2\int_0^{\frac{1}{\sqrt{i}}} \mathbb{P}\left(\tau_x<\frac{1}{i}\right)f_{B_1}(x)dx\\
        &\leq \dfrac{2}{2\pi}\int_{\frac{1}{\sqrt{i}}}^\infty e^{-\frac{ix^2}{2}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx + \dfrac{2}{2\pi}\int_0^{\frac{1}{\sqrt{i}}}(2+e^{-\frac{1}{2}})e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\
        &\leq \dfrac{1}{\pi}\int_{\sqrt{\frac{i+1}{i}}}^\infty e^{-\frac{y^2}{2}}\dfrac{dy}{\sqrt{i+1}}+\dfrac{2+e^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{i}}\\
        &\leq \dots \leq \dfrac{M}{\sqrt{i+1}}
    \end{align*}
Ainsi, on peut calculer$$\mathbb{E}[N^n] = \mathbb{E}\left[ \sum_{i=0}^{2^n-1} \mathbf{1}_{I^n_i\text{ good}} \right] = \sum_{i=0}^{2^n-1} p^n_i. $$L'encadrement suivant découle alors de l'encadrement des $p^n_i$ et de comparaisons séries-intégrales : $$ m2^{n/2} \leq \mathbb{E}[N^n] \leq M 2^{n/2}. $$

Fulgrim

Bonjour,

Afin d'être exhaustif, je mets ici le fin mot de l'histoire :

Finalement l'exercice qu'on m'avait demandé de préparer était de montrer que $\lim \dfrac{\ln(\mathbb{E}N^n)}{\ln(2^n)}=\dfrac{1}{2}$ (l'espérance est en plus cette fois), ce qui simplifie considérablement le problème haha.

Pour le problème sans l'espérance, c'est sans doute encore vrai, et l'astuce de @Calli marche (les $\frac{N^{n+1}}{N^n}$ sont iid et on doit pouvoir calculer leur espérance) mais je n'ai pas tenté d'écrire une preuve complète.

En tout cas, merci

Calli

Ah oui, c'est plus simple en espérance !