Quelle est cette notation ?
Bonjour,
Que veut dire cette notation "$R(T)$" dans l'exercice suivant:
[$\LaTeX$ fournit la commande \ker.
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Que veut dire cette notation "$R(T)$" dans l'exercice suivant:
Soient $H$ un espace de Hilbert et $T: D(T) \subset H \rightarrow H$ un opérateur linéaire, le noyau de $T$ est défini par $\ker(T)=\{x \in D(T)\mid T x=0\}$. Montrer que
1. Si $D(T)$ est dense dans $H$, alors $\ker\left(T^{*}\right)=R(T)^{\perp}$.
2. Si $D\left(T^{*}\right)$ est dense dans $H$, alors $\ker(T)=R\left(T^{*}\right)^{\perp}$.
3. Si $R(T)$ est fermé et $R(T)$ est dense dans $H$ et $\exists C>0$ tel que $\|T x\| \geqslant C\|x\|, \quad \forall x \in D(T)$, alors $T$ est un opérateur fermé.
4. Si $T$ est un opérateur fermé et $\exists C>0$ tel que $\|T x\| \geqslant C\|x\|, \forall x \in D(T)$, alors $R(T)$ est fermé.
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Réponses
Edit : plutôt $\mathrm{Range} \left(T\right)$
Je voulais cependant en être certain.
On a donc compris les notations. Maintenant on attaque lesquestions. On attend tes réponses.
Merci pour ton message.
J'avais carrément oublié de faire l'exercice.
Je m'y mets maintenant.
Je ne connaissais pas la définition d'un opérateur fermé, j'ai du regarder sur Wikipédia.
Je n'ai pas réussi la $2$, je n'ai que : $Im(T^*)\cap D(T) \subset \ker{T}$
Pour la deux, je ne connais pas ton cours et je ne sais pas si on peut s'en sortir sans la notion d'operateur fermable. Note que si D(T^*) est dense alors T est fermable
Serait-ce, comme la 2, encore un problème sur les domaines de définition ?
En ce qui concerne mon cours, on a juste vu les adjoints et auto-adjoints dans un espace de Hilbert, opérateurs compacts et comme théorème final diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts sur un espace de Hilbert.
L'exercice que j'ai fait n'était peut-être pas le plus adapté.
On n'a pas vu les opérateurs sur un sous-espace vectoriel de $H$.
Néanmoins, par analogie cela ne m'a pas trop posé de problèmes pour l'exercice, une fois la définition d'un opérateur fermé trouvée sur wikipedia.
Pour la deux, tu appliques la 1 avec S=T*, tu démontres donc $\ker\left(S^{*}\right)=R(S)^{\perp}$ c'est à dire $\ker\left(T^{**}\right)=R(T^*)^{\perp}$ et pour un opérateur fermable $T^{**}=\bar T$ (fermeture de $T$).
Merci pour la 2.
Cet été, j'étudierai sûrement la théorie des opérateurs.