Équivalent d'un reste

troisqua

Bonjour
Je suis tombé sur le problème suivant.

Soit $f$ strictement positive et de classe $C^1$ au voisinage de $+\infty$ telle que $\frac{f'}{f}\underset{+\infty}{\longrightarrow}-\infty$. Donner un équivalent du reste de la série des $f(n)$.

Pour autant je vois bien ce qui se passe quand $\frac{f'}{f}\underset{+\infty}{\longrightarrow}\ell\in\R$. Quelqu'un aurait une indication ?

Pomme de terre

Tu peux déjà étudier l'exemple de $f : x \mapsto e^{-x^2}$ pour te faire une idée du résultat à démontrer.
Puis, dans le cas général, chercher des majorations exponentielles de $f(x)$ au voisinage de $+\infty$.

gebrane

troisqua a dit :

Pour autant je vois bien ce qui se passe quand $\frac{f'}{f}\underset{+\infty}{\longrightarrow}\ell\in\R$. 

Bonjour peux tu m'éclairer le comment lorsque $\frac{f'}{f}\underset{+\infty}{\longrightarrow}0 $, je cite pour exemple $f(x)=\frac 1{x^a}$ avec $a>1$.

troisqua

Gebrane:

j'aurais dû écrire "si $\ell<0$". Merci pour la précision.

troisqua

Merci Pomme de terre. Je propose :

Si $M<0$ alors il existe $n$ tel que pour tout $p\geqslant n$, $\frac{f'\left(p\right)}{f\left(p\right)}\leqslant M$ et donc $e^{\int_{n}^{p}\frac{f'\left(t\right)}{f\left(t\right)}dt}\leqslant e^{\left(p-n\right)M}$ qui montre que $$0\leqslant\sum_{p\geqslant n}^{+\infty}e^{\int_{n}^{p}\frac{f'\left(t\right)}{f\left(t\right)}dt}-1\leqslant\sum_{p>n}^{+\infty}e^{\left(p-n\right)M}=\sum_{k=1}^{+\infty}e^{kM}=\frac{e^{M}}{1-e^{M}}\underset{-\infty}{\longrightarrow}0$$ et donc $\sum_{p\geqslant n}^{+\infty}e^{\int_{n}^{p}\frac{f'\left(t\right)}{f\left(t\right)}dt}\underset{n}{\longrightarrow}1$. Donc $$\sum_{p\geqslant n}f\left(p\right)=f\left(n\right)\sum_{p\geqslant n}\frac{f\left(p\right)}{f\left(n\right)}=f\left(n\right)\sum_{p\geqslant n}^{+\infty}e^{\int_{n}^{p}\frac{f'\left(t\right)}{f\left(t\right)}dt}\underset{n}{\sim}f\left(n\right)$$

gebrane

 Dans le cas $f : x \mapsto e^{-x^2}$ l'équivalent du reste me semble-t-il est f(n+1) et non pas f(n)

troisqua

Ta définition du reste est $\sum_{p\geqslant n}f\left(p\right)$ ou $\sum_{p>n}f\left(p\right)$ ?

gebrane

Lol la deuxième, je suis devenu aveugle

troisqua

Tout s'explique

Quand j'ai une suite $u$ définie dès le rang $0$, je prends, à titre personnel j'en conviens, $\sum_{p\in n} u_p$ pour définition de la somme partielle de rang $n$ (elle a donc $n$ termes et non $n+1$). Ceci donne un reste de la forme $\sum_{p\geqslant n}u_p$. J'y trouve une certaine cohérence et un côté pratique.