Simulation : approximation d'une variable aléatoire X continue par une variable aléatoire Y discrète
Bonsoir à tous,
Je voudrais simuler des réalisations d'une certaine variable aléatoire continue, la variable aléatoire X en question est continue et à valeurs dans l'intervalle [ 100 000 , p [ (p est ici un seuil max). Ainsi, il y aura deux cas :
a) p fini
b) p infini
Concernant les informations que j'ai à disposition pour simuler X, celles-ci ne me permettent pas de faire le processus habituel de
simulation... Mais je vais vous les expliciter quand même.
Pour le cas a), je dispose de la moyenne et de l'écart type de X, et j'ai en plus le graphique suivant (joint ci-dessous). Ce graphique est issu d'une série d'observations (x1, ... , xn) d'une variable aléatoire X dont je ne dispose pas. Tout ce que j'ai c'est ce graphique sur la répartition de X (+ moyenne et écart type de X). On remarque par ailleurs que dans ce cas : p = 800 000
Pour le cas b) Idem j'ai les mêmes infos, et c'est quasiment le même graphique, sauf pour la dernière tranche car : p = Infini
Pour le cas a). Une simulation approximative de X par une variable Y discrète est assez facile à faire. (Comme j'ai les intervalles et les probabilités d'appartenance dans chacun des intervalles, je peux donc simuler une variable discrète Y qui prend comme valeurs finies les milieux des intervalles respectifs avec leur probas correspondante) et je peux dire que les réalisations de Y serait une approximation (plus ou moins bonne) de celles de X.
Mon problème, c'est que je ne sais pas comment faire pour le cas b). Étant donné que le seuil p n'est pas fini, cela pose problème pour la dernière tranche. Sans maximum, l'étendue de mon dernier intervalle est inconnue, et j'en déduis que ma question n'a pas de réponse, le cas b) est impossible à simuler. Est-ce bien le cas ?
Ensuite, je me demande si la simulation de X pour le cas b) est-elle toujours impossible à résoudre si je connais en plus : E(X) et Var(X) ?
En fait, je pensais à tester/simuler Y selon différents seuils p finis, de façon à ce que : E(Y) = E(X) & Var(Y) = Var(X), Est-ce une bonne piste ?
Merci d'avance pour vos réponses.
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Réponses
Peut-on simuler une variable aléatoire à valeurs réelles non bornées, par une variable aléatoire discrete ?
Alors la réponse est oui, en utilisant la fonction de répartition empirique : méthode du bootstrap.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_répartition_empirique
Je pourrai détailler si besoin, une fois que j'aurai bien compris ton problème.
Bonjour Gerard0,
Désolé de relancer ce sujet, mais finalement, je ne pense pas avoir compris ta phrase « Dans ton cas, on sent bien qu'une répartition uniforme dans les intervalles trahit une tendance nette à la décroissance »……qu’est-ce que tu voulais dire par là ?
Quand vous parlez de tendance nette à la décroissance, vous parlez bien de la forme de mon histogramme (à savoir que plus on va vers de grandes valeurs de X, plus elles seront rares) ?
Mais en quoi l’hypothèse d’une répartition uniforme (ou non) au sein des classes trahit cette tendance globale à la décroissance ? Corrigez moi si je me trompe, mais les proportions associées à chaque classe de X sont insensibles à la façon dont sont répartis les valeurs au sein d’une même classe donnée, et donc pour moi la tendance à la décroissance sera conservée.