Valeur d'une intégrale

MrJ

Bonjour,

auriez-vous une idée pour calculer l'intégrale suivante.

\[\int_0^1 \dfrac{\ln(x)}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}d x.\]

D'après WolframAlpha, on peut calculer directement une primitive de la fonction intégrée, mais je n'arrive pas à trouver un point de départ raisonnable (accessible à un étudiant de 2ème année).

Merci pour votre aide !

Guego

Je n'ai pas fait les calculs, mais une idée : on peut développer $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ en série entière. On se retrouve alors avec une somme d'intégrales du type $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{2n}\ln(x)}{1+x}dx$. Et ces intégrales se calculent par récurrence.

MrJ

Merci ! Ces intégrales font beaucoup moins peur déjà !

Malheureusement, j'ai oublié de préciser que mes étudiants n'ont que le théorème d'intégration terme à terme sur un segment contenu dans l'intervalle ouvert de convergence d'une série entière (et les intégrales à paramètre, mais elle me semble hors-sujet ici : on n'attend pas d'eux d'introduire eux-même une intégrale à paramètre en général). Ils n'ont pas le théorème de convergence dominée, ni le théorème général d'intégration terme à terme.

lale

On peut poser $x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
Alors $\displaystyle I=\int_0^1 \ln\Big(\frac{1-t^2}{1+t^2}\Big) dt$
En intégrant par parties $I=(t-1) \ln\Big(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\Big) \Big]_0^1+ J=J$,
où $J$ est l'intégrale d'une fraction rationnelle.

gebrane

FDP s'il te plait explique nous comment cette machine wolphi a trouvé  une primitive 

Guego

Joli, lale ! Comment as-tu pensé à ce changement de variable ?

Fin de partie

La fonction $x\mapsto \dfrac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$ admet une primitive simple:  $x\mapsto -\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}$.

Fin de partie

Dans l'intégrale $\displaystyle \int_0^x \frac{1}{(1+t)\sqrt{1-t^2}}dt$ on a une furieuse envie de procéder au changement de variable $t=\sin \theta$

Fin de partie

@Guego: Dans une intégrale qui a pour "facteur" $\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ le changement de variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ transforme ce "facteur" en $\dfrac{dy}{(1+y)\sqrt{y}}$.

C'est-à-dire que formellement $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int_0^1 \frac{f\left(\frac{1-y}{1+y}\right)}{(1+y)\sqrt{y}}dy$

etanche

Pour continuer dans le même sens $$\int_0^1 \dfrac{\ln^2(x)}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}d x$$

c'est ici après avoir cherché https://artofproblemsolving.com/community/c7h1883138p12820774

Par contre avec $ \dfrac{\ln^3(x)}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$ je ne sais pas si cela a été fait.

lale

Pour le changement de variable, j'avais commencé par poser $x=\cos(\theta)$ à cause du $\sqrt{(1-x^2)}$ et ensuite $t=\tan(\theta/2)$.

Guego

etanche a dit :

Par contre avec $ \dfrac{\ln^3(x)}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$ je ne sais pas si cela a été fait.

Je n'ai aucune preuve, mais numériquement (sur plusieurs centaines de décimales) : $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln^3(x)}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}dx = \dfrac{3}{2}\zeta(3) - \dfrac{1}{8}\pi^3-\dfrac{1}{4}\pi^2\ln(2) - \dfrac{3}{2}\pi\ln^2(2)+\ln^3(2)$

MrJ

Merci à tous pour vos idées !

@lale : Bien joué ! Je ne l'aurai probablement pas trouvé. C'est un exercice d'oral, donc j'imagine que l'examinateur a donné le changement de variable au candidat, mais il n'était pas indiqué dans l'énoncé.

Fin de partie

\begin{align}J_n&=\int_0^1 \frac{\ln^n x}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}dx\\&=\int_0^1 \frac{(1-x)\ln^n x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}dx\\ &=\int_0^1 \frac{\ln^n x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}dx-\int_0^1 \frac{x\ln^n x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}dx\\ &\overset{u=x^2}=\frac{1}{2^{n+1}}\int_0^1 \frac{\ln^n u}{u^{\frac{1}{2}}(1-u)^{\frac{3}{2}}}du-\frac{1}{2^{n+1}}\int_0^1 \frac{\ln^n u}{(1-u)^{\frac{3}{2}}}du\\ \end{align} Ce qui fait qu'on peut écrire $J_n$ comme une différence de dérivées n-ième de fonctions gamma d'Euler.

Fin de partie

Empiriquement on peut penser que les $J_n$ sont des sommes de termes de "degré" $n$ comme le laisse penser la forme close donnée par Guego.

Fin de partie

Cela semble se confirmer

 ? J=intnum(x=0,1,log(x)^4/((1+x)*sqrt(1-x^2)));
lindep([J,zeta(4),zeta(3)*log(2),zeta(2)*log(2)^2,log(2)^4,Pi*log(2)^3,Pi^3*log(2),polylog(4,1/2),zeta(3)*Pi])
%1 = [-8, -27, 48, -24, 8, 16, 4, 0, 24]~
? \p 200
J=intnum(x=0,1,log(x)^4/((1+x)*sqrt(1-x^2)));
lindep([J,zeta(4),zeta(3)*log(2),zeta(2)*log(2)^2,log(2)^4,Pi*log(2)^3,Pi^3*log(2),polylog(4,1/2),zeta(3)*Pi])
   realprecision = 202 significant digits (200 digits displayed)
%2 = [8, 27, -48, 24, -8, -16, -4, 0, -24]~ 

On obtient ainsi une probable forme close pour $J_4$

NB: c'est un calcul fait avec GP PARI.

NB2. Les calculs ont été faits avec une précision de 50 décimales dans un premier temps, puis 200, et cela ne change pas les coefficients de la combinaison linéaire ce qui est un bon indice qu'on a trouvé une probable forme close avec la "base" fournie.

gebrane

J'ai retrouvé la primitive de wolfram de façon élémentaire. On cherche une primitive sur l' intervalle ouvert d'extrémités 0 et 1. On commence par le changement u=1-x  puis  $v=\sqrt u $ puis une ipp (où  on dérive  $ln (1-v^2) $).Puis on s'en sort bien. 
Qui confirme ?

jandri

Dommage que le forum ne permette pas une recherche facile dans les anciens messages. 

La question posée par MrJ a déjà été posée, la dernière fois il y a 5 ans dans le fil Une intégrale à l'ancienne.

J'ai aussi noté que cela a été posé en juillet 2011 mais je n'avais pas noté le nom du fil.

gebrane

J'ai oublié carrément ce fil 

Fin de partie

Je me doutais qu'on avait déjà parlé de cette intégrale. J'avais un vague souvenir.