Groupe diédral d'ordre 8

nyadis

Bonjour !
J'aimerais savoir si ayant un groupe à 8 éléments, et sachant qu'il contient un élément d'ordre 4 et un élément d'ordre 2 nous permet de conclure qu'il est un groupe diédral d'ordre 8. Si oui quelles sont les raisons ? Si non quelles sont les conditions minimales à prouver ?
Merci beaucoup pour vos futures réponses. 

nicolas.patrois

Non parce que le groupe des quaternions $\mathbb{H}_8$ a ces mêmes caractéristiques, en fait 4 groupes d’ordre 8 aussi sur les 5.

Le sujet a été abordé dans un autre fil récemment.

nyadis

Merci beaucoup j'ai pu voir cette discussion ! 

Si je réussis à montrer que mon groupe à 5 éléments d'ordre 2 est-ce suffisant ?

GaBuZoMeu

Bonsoir,

Tu voulais écrire "cinq éléments d'ordre 2 " ?

Si oui, un examen des groupes d'ordre 8 à isomorphisme près montre que c'est bon. Ça peut aussi se voir directement.

AD

Un groupe d'ordre 8, avec un élément d'ordre 4 et cinq d'ordre 2, suffit pour dire que le groupe est le diédral $\mathcal D_4$.

Soit un groupe d'ordre 8, avec un élément d'ordre 4

$-$ cela élimine d'entrée de jeu le groupe $C_2^{\,3}$ dont tous les éléments sont d'ordre 2 hormis le neutre.

$-$ avec au moins 2 éléments d'ordre 2, cela élimine le cyclique $C_8$  et $\mathbb H_8$ qui tous deux n'ont qu'un seul élément d'ordre 2.

$-$ avec au moins 4 éléments d'ordre 2, cela élimine $C_4\times C_2$

$-$ avec au moins 6 éléments d'ordre 2, cela élimine le groupe est le diédral $\mathcal D_4$

Et là, on a fait le tour des cinq groupes d'ordre 8.

Alain

Édit : barré deux mots issus d'un copier coller mal adapté. Merci GBMZ

nyadis

Perfect merci

GaBuZoMeu

AD a dit :

$-$ avec au moins 6 éléments d'ordre 2, cela élimine le groupe est le diédral $\mathcal D_4$

J'avoue ne pas comprendre cette phrase.

SaladeDeFoudre

Un groupe d'ordre inférieur ou égal à 15 est caractérisé par son graphe des cycles, il suffit de calculer l'ordre d'un nombre suffisant d'éléments pour déterminer quel groupe il s'agit dans ce cas là.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_petits_groupes

GaBuZoMeu

Directement :

Puisqu'il y a deux éléments d'ordre >2 dans $G$, il y a au moins un élément $a$ d'ordre 4 qui engendre un sous-groupe cyclique $H$, d'indice 2 dans $G$ donc distingué. Les quatre éléments de $G\setminus H$ sont d'ordre 2, et donc aucun ne commute avec $a$ (si $b^2=(ba)^2=e$ et $a$ commute avec $b$, alors $a^2=e$). On a donc une suite exacte scindée $0\to H\to G\to  \mathbb Z/2\mathbb Z\to 0$, et $G\simeq H\rtimes \mathbb Z/2\mathbb Z$ où $\mathbb Z/2\mathbb Z$ agit sur le groupe $H$ cyclique d'ordre 4 par l'automorphisme non trivial. $G$ est bien isomorphe à $D_4$.