Logique et probabilités conditionnelles

Cirdec

Bonjour,
Soient T et M les événements respectifs M : "la personne est malade" et T : "le test est positif".
A-t-on toujours l'implication suivante ?
Si la probabilité de M sachant T est nettement supérieure à la probabilité de M sachant l'événement contraire de T,  ALORS  la probabilité de T sachant M est aussi supérieure à la probabilité de l'événement contraire de T sachant M ??
Elle semble évidente mais je n'arrive pas à la prouver !
Merci de votre aide !
C.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Si tu t'embrouilles, revient à la définition mathématique de la probabilité conditionnelle et écris tout posément en fonction de $P(M)$, $P(T)$ et $P(M\cap T)$.

gerard0

Bonjour.

Je ne sais pas pourquoi tu la trouves "évidente", car voici un contre exemple.

Les événements sont distribués ainsi : $P(T)=0,1;\  P(\overline T)=0,9;\  P(M\cap T)=0,09; P(M\cap\overline T)=0,1$

Ce qui donne $P(M)=0,19$ et $P(\overline T \cap \overline M) = 0,8$

Je trouve bien $P(M/T)=0,9$, plus de huit fois supérieur à $P(M/\overline T) = \frac 1 9$ mais $P(T/M)$ est inférieur à $P(\overline T /M)$.

Cordialement.

NB. J'aimerais bien connaître la raison qui te faisait paraître évidente cette implication.

GaBuZoMeu

Tu peux voir par contre que

Si la probabilité de M sachant T est nettement supérieure à la probabilité de M sachant l'événement contraire de T,  ALORS  la probabilité de T sachant M est aussi supérieure à la probabilité de l'événement contraire de T sachant l'événement contraire de M.

lourrran

Faire un tableau, 2 lignes, 2 colonnes, plus une ligne 'Total' et une colonne 'Total'
Mettre 4 nombres dans ce tableau, et regarder.
Par exemple 95 et 5 sur la première ligne, 10 et 90 sur la 2ème, ça donne un certain résultat.
95 et 5 sur la première ligne, 90 et 10 sur la 2ème, ça donne un tout autre résultat.

Cirdec

Bonsoir,

je me disais que si la probabilité qu'une personne soit malade sachant qu'elle a été testée positive est proche de 1 et que la probabilité qu'une personne soit malade sachant qu'elle a été testée négative est proche de 0 ALORS le test me semble être un bon test.

ET alors la probabilité que la personne soit testée positive sachant qu'elle est malade va aussi être supérieure à la probabilité que la personne soit testée négative sachant qu'elle est malade ...

En tout cas, votre contre-exemple me prouve le contraire et me donne tort !
Merci !
C.

biely

 Tout dépend ce que l’on recherche en  priorité dans cette histoire de ’’bon test’’.
Un petit lien peut-être utile:
 https://www.adeca68.fr/prevention_et_depistage/performances_dun_test_de_depistage.166.html

lourrran

Mon exemple n'était pas adapté à un test de médicament.
Voici des chiffres plus réalistes.
Un tableau avec 98 et 2 sur la première ligne (100 malades, 98 sont détectés par le test)
Et  100 et 9900  sur la 2ème ligne (10000 personnes saines, mais 100 d'entre elles réagissent au test)

Le test marche très bien, il réagit presque toujours chez les malades, et très peu chez les non-malades. Mais quand il réagit, on ne peut pas du tout en déduire que la personne est malade.

GaBuZoMeu

Par contre, la probabilité que le test soit positif sachant qu'elle est malade est supérieure à la probabilité que le test soit positif sachant qu'elle n'est pas malade.