Conséquences du théorème des noyaux itérés
$\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}$Bonjour,
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension $(p+1)n$ avec $p\geq 2$. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^3=0$ et $\rg(f)=p \times n$. Il faut montrer que $\rg(f^2)=n$. Je ne comprends pas en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux itérés.
De la même façon, si on se donne un endomorphisme $u\in \mathcal{L}(E)$ (ici $E$ est de dimension quelconque) tel que $\dim(\ker(u))=1$. Montrer que pour tout $k \leq \dim(E)$, $\dim(\ker(u^k)) = k$. Je ne comprends pas non plus en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux.
En effet, le théorème des noyaux itérés nous dit que pour un endomorphisme $u$ de $E$ de dimension quelconque, la suite $(\dim(\ker(u^{p+1})-\dim(\ker(u^{p})))_{p\in \mathbb{N}}$ est décroissante. Je ne vois pas trop le rapport avec ce théorème. Si quelqu'un veut bien expliciter le lien, svp.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension $(p+1)n$ avec $p\geq 2$. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^3=0$ et $\rg(f)=p \times n$. Il faut montrer que $\rg(f^2)=n$. Je ne comprends pas en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux itérés.
De la même façon, si on se donne un endomorphisme $u\in \mathcal{L}(E)$ (ici $E$ est de dimension quelconque) tel que $\dim(\ker(u))=1$. Montrer que pour tout $k \leq \dim(E)$, $\dim(\ker(u^k)) = k$. Je ne comprends pas non plus en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux.
En effet, le théorème des noyaux itérés nous dit que pour un endomorphisme $u$ de $E$ de dimension quelconque, la suite $(\dim(\ker(u^{p+1})-\dim(\ker(u^{p})))_{p\in \mathbb{N}}$ est décroissante. Je ne vois pas trop le rapport avec ce théorème. Si quelqu'un veut bien expliciter le lien, svp.
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Réponses
Pour démontrer ton égalité du paragraphe 2... Pense à majorer ta suite du paragraphe 3 pour ensuite faire une récurrence.
Cordialement.
Par l'absurde, soit $k\leq \dim(E)$ non nul tel que $\dim(\ker(u^k)) < k$. $k$ est en fait strictement inférieur à la dimension de $E$, car $u^{\dim(E)}=0$ ($u$ est nilpotente). Par une sorte de lemme des tiroirs combiné avec la croissance de la dimension des noyaux (je ne parle pas ici des noyaux itérés), $\dim(\ker(u^{k-1})=\dim(\ker(u^k))$. Par récurrence immédiate, pour $p\geq k-1$, la dimension des noyaux d'ordre $p$ vaut la dimension du noyau d'ordre $k-1$. Contradiction car $\dim(\ker(u^{\dim(E)}))=\dim(E)>k$.
La preuve me semble bizarre car elle n'utilise pas le théorème des noyaux itérés. J'ai dû me tromper.
Désolé, je ne sais pas écrire en Latex... Mais je vais m'y mettre bientôt et écrire avec mon portable n'est pas facile ! 😉
Sachant que p>=2, j'en déduis p = 2.
De ce fait, dim(Ker(f²)) = 2n (donc p x n) donc rg(f²) = n.
Merci.