CNS concernant le rang de deux applications linéaires

Tony Schwarzer

$\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}$Bonjour,
Soient $f, g\in L(E,F)$ où $E, F$ sont deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie.
Je souhaite montrer que $\rg(g) \leq \rg(f)$ si et seulement si il existe $h \in GL(F),\ k\in L(E)$ tels que $h \circ g = f \circ k$.
Le sens réciproque étant évident, concentrons nous sur le sens direct.
On peut par exemple essayer de définir $h$ et $k$ sur une base de leur espace de départ pour chacun.
Puisque $\rg(g) \leq \rg(f)$, il existe $S'$ tel que $\dim(S' \oplus \ker(f))=\dim(\ker(g))$.
Par une propriété bien connue, on peut alors considérer $S$ un supplémentaire commun à $\ker(g)$ et $S' \oplus \ker(f)$. Soit $(b_1,\ldots,b_k)$ une base de $S$. Les familles $\big(f(b_1),\ldots,f(b_k)\big)$ et $\big(g(b_1),\ldots,g(b_k)\big)$ étant libres, on peut les compléter en des bases de $F$ : $\big(f(b_1),\ldots,f(b_k),x_1,\ldots,x_\ell\big)$ et $\big(g(b_1),\ldots,g(b_k),y_1,\ldots,y_\ell\big)$. Comment définir $h$ et $k$ en ayant fait ceci ?
Apparemment il faut procéder ainsi, mais je ne vois pas trop comment définir $h$ et $k$ à partir de là. Merci pour votre aide.

gebrane

Tu veux hog=fok donc ton h est défini  sur l, image de g et te renvoie vers l image de f. Il vaut mieux prendre une base v_i de l image de g complétée en une base de l espace. De même une base de l image de f que tu notes w_i complétée en une base de l'espace  et tu prends pour h le truc qui envoie v_i sur w_i  .

Pour le k à  réfléchir pour avoir l Egalite

Tony Schwarzer

Je n'ai pas bien compris l'explication. 

gebrane

Bon j'ai corrigé une coquille. Je t'ai exhibé le h , il est bien défini par h(v_i)=w_i  . il te reste à réfléchir sur le k 

Tony Schwarzer

Désolé mais ce n'est pas clair. Les $u_i$ deviennent de temps en temps des $v_i$ dans ton texte. Là h n'est pas bien défini, puisqu'il n'est que défini sur $Im(g)$. Reste à trouver l'image des vecteurs restants. Je ne vois pas trop où tu veux en venir. 

gebrane

Si personne ne me dispense d'une rédaction en Latex, je vais te donner quelques choses de clair, lisible et en Latex

jandri

Soit $B_1=(u_i)$ une base de $E$ obtenue en complétant une base $(u_{p+1},\dots,u_n)$ de $Ker(g)$ : 
$(u'_i=g(u_i))$ avec $1\leq i\leq p$ est une base de $Im(g)$ que l'on complète en une base $B'_1=(u'_i)$ de $F$.

De même, soit $B_2=(v_i)$ une base de $E$ obtenue en complétant une base $(v_{q+1},\dots,v_n)$ de $Ker(f)$ (par hypothèse $p\leq q$) : 
$(v'_i=f(v_i))$ avec $1\leq i\leq q$ est une base de $Im(f)$ que l'on complète en une base $B'_2=(v'_i)$ de $F$.

On définit $k\in L(E)$ par $k(u_i)=v_i$ si $i\leq p$ et $k(u_i)=0$ si $i>p$.

On définit $h\in GL(F)$ par $h(u'_i)=v'_i$.

Pour tout $x\in E$ : $x=\displaystyle\sum_{i=1}^n  x_i u_i$ d'où
$h\circ g(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^p  x_i v'_i$ et $f\circ k(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^p  x_i v'_i$

gebrane

Merci infiniment Jandri, tu me dispenses

Tony Schwarzer

Merci beaucoup. C'est compris.